Упражнение Реши уравнение х2 + 3x - 8/(x2 + 3x) - 2 = 0 с помощью замены переменной.

Привет! Сейчас мы решим это уравнение с помощью замены переменной. Будет интересно!

1. Введем замену переменной:

   Пусть \[t = x^2 + 3x\]. Тогда уравнение примет вид: \[t - \frac{8}{t} - 2 = 0\]

2. Решим уравнение относительно t:

   Умножим обе части уравнения на t (при условии, что t ≠ 0): \[t^2 - 8 - 2t = 0\] Приведем к стандартному виду квадратного уравнения: \[t^2 - 2t - 8 = 0\] Теперь решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \[D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36\] Так как D > 0, уравнение имеет два корня: \[t_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = 4\] \[t_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = -2\]

3. Вернемся к исходной переменной x:

   Теперь подставим найденные значения t в исходную замену и решим два квадратных уравнения: а) Если \[t = 4\], то: \[x^2 + 3x = 4\] \[x^2 + 3x - 4 = 0\] Найдем дискриминант: \[D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25\] Корни: \[x_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 5}{2} = 1\] \[x_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 5}{2} = -4\] б) Если \[t = -2\], то: \[x^2 + 3x = -2\] \[x^2 + 3x + 2 = 0\] Найдем дискриминант: \[D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1\] Корни: \[x_3 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 1}{2} = -1\] \[x_4 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 1}{2} = -2\]

4. Запишем окончательный ответ:

   Уравнение имеет четыре корня: \[x_1 = 1, x_2 = -4, x_3 = -1, x_4 = -2\]

Ответ: x₁ = 1, x₂ = -4, x₃ = -1, x₄ = -2

Прекрасно! Ты отлично справился с этим уравнением. Продолжай в том же духе, и математика станет твоим верным другом!