Упражнения 1-12, 52-55

Упражнения

1-12

1. \( a^{-8} \cdot a^{12} = a^{-8+12} = a^4 \)
2. \( a^7 \cdot a^{-11} = a^{7-11} = a^{-4} \)
3. \( a^{-6} \cdot a^{10} : a^{-20} = a^{-6+10} \cdot a^{20} = a^4 \cdot a^{20} = a^{4+20} = a^{24} \)
4. \( a^{-3} : a^5 = a^{-3-5} = a^{-8} \)
5. \( a^{-4} : a^{-12} = a^{-4-(-12)} = a^{-4+12} = a^8 \)
6. \( a^{17} \cdot a^{-23} : a^{-15} = a^{17-23} \cdot a^{15} = a^{-6} \cdot a^{15} = a^{-6+15} = a^9 \)
7. \( (a^{-4})^8 = a^{-4 \cdot 8} = a^{-32} \)
8. \( (a^3)^{-7} : (a^{-4})^{-5} \cdot (a^{-5})^8 = a^{3 \cdot (-7)} : a^{-4 \cdot (-5)} \cdot a^{-5 \cdot 8} = a^{-21} : a^{20} \cdot a^{-40} = a^{-21-20} \cdot a^{-40} = a^{-41} \cdot a^{-40} = a^{-41-40} = a^{-81} \)
9. \( (a^5 b^{-3} c^4)^{-10} = a^{5 \cdot (-10)} b^{-3 \cdot (-10)} c^{4 \cdot (-10)} = a^{-50} b^{30} c^{-40} \)
10. \( (a^2 b^{-3})^{-3} \cdot (a^{-4} b^{-9})^6 = a^{2 \cdot (-3)} b^{-3 \cdot (-3)} \cdot a^{-4 \cdot 6} b^{-9 \cdot 6} = a^{-6} b^9 \cdot a^{-24} b^{-54} = a^{-6-24} b^{9-54} = a^{-30} b^{-45} \)
11. \( \left( \frac{a^{12} b^{-4}}{c^5 d^{-13}} \right)^{-2} = \frac{a^{12 \cdot (-2)} b^{-4 \cdot (-2)}}{c^5 \cdot (-2) d^{-13 \cdot (-2)}} = \frac{a^{-24} b^8}{c^{-10} d^{26}} = a^{-24} b^8 c^{10} d^{-26} \)
12. \( \left( \frac{a^{-3}}{b^3} \right)^{-3} \cdot \left( \frac{a^{-3}}{b^9} \right)^{-2} = \frac{a^{-3 \cdot (-3)}}{b^{3 \cdot (-3)}} \cdot \frac{a^{-3 \cdot (-2)}}{b^{9 \cdot (-2)}} = \frac{a^9}{b^{-9}} \cdot \frac{a^6}{b^{-18}} = a^9 b^9 \cdot a^6 b^{18} = a^{9+6} b^{9+18} = a^{15} b^{27} \)

52. Найдите значение выражения:

1. \( 7^5 \cdot 7^{-7} = 7^{5-7} = 7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49} \)
2. \( 10^{-12} \cdot 10^{15} = 10^{-12+15} = 10^3 = 1000 \)
3. \( 5^{-12} : 5^{-16} = 5^{-12-(-16)} = 5^{-12+16} = 5^4 = 625 \)
4. \( 3^{-14} \cdot 3^{19} : 3^{34} = 3^{-14+19-34} = 3^{5-34} = 3^{-29} = \frac{1}{3^{29}} \)
5. \( (13^{-9})^4 \cdot (13^{-2})^{-18} = 13^{-9 \cdot 4} \cdot 13^{-2 \cdot (-18)} = 13^{-36} \cdot 13^{36} = 13^{-36+36} = 13^0 = 1 \)
6. \( \frac{2^{-4} \cdot (2^{-3})^5}{(2^{-8})^2 \cdot 2^{-3}} = \frac{2^{-4} \cdot 2^{-15}}{2^{-16} \cdot 2^{-3}} = \frac{2^{-4-15}}{2^{-16-3}} = \frac{2^{-19}}{2^{-19}} = 2^{-19 - (-19)} = 2^0 = 1 \)

53. Найдите значение выражения:

1. \( 27^{-3} : 81^{-2} = (3^3)^{-3} : (3^4)^{-2} = 3^{-9} : 3^{-8} = 3^{-9 - (-8)} = 3^{-9+8} = 3^{-1} = \frac{1}{3} \)
2. \( \frac{(-36)^{-3} \cdot 6^4}{216^{-4} \cdot (-6)^9} = \frac{(-1)^3 36^{-3} \cdot 6^4}{(6^3)^{-4} \cdot (-1)^9 6^9} = \frac{-1 \cdot (6^2)^{-3} \cdot 6^4}{6^{-12} \cdot (-1) \cdot 6^9} = \frac{-1 \cdot 6^{-6} \cdot 6^4}{-6^{-12} \cdot 6^9} = \frac{-1 \cdot 6^{-2}}{-1 \cdot 6^{-3}} = \frac{6^{-2}}{6^{-3}} = 6^{-2 - (-3)} = 6^{-2+3} = 6^1 = 6 \)
3. \( \frac{215^{-3} \cdot 7^8}{63^{-2} \cdot 7^8} = \frac{(5 \cdot 43)^{-3}}{ (9 \cdot 7)^{-2}} = \frac{5^{-3} \cdot 43^{-3}}{9^{-2} \cdot 7^{-2}} \) (Ошибка в условии, вероятно, должно быть \( 21^5 \) вместо \( 215^{-3} \) )
4. \( \frac{(0.2)^{-6} \cdot 25^{-7}}{125^{-3}} = \frac{(\frac{1}{5})^{-6} \cdot (5^2)^{-7}}{(5^3)^{-3}} = \frac{5^6 \cdot 5^{-14}}{5^{-9}} = \frac{5^{6-14}}{5^{-9}} = \frac{5^{-8}}{5^{-9}} = 5^{-8 - (-9)} = 5^{-8+9} = 5^1 = 5 \)

54. Упростите выражение:

1. \( \frac{1}{3} p^{-2} q^{-5} : \frac{5}{9} p^6 q^3 = \frac{1}{3} p^{-2} q^{-5} \cdot \frac{9}{5} p^{-6} q^{-3} = \left( \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{5} \right) p^{-2-6} q^{-5-3} = \frac{3}{5} p^{-8} q^{-8} = \frac{3}{5 (pq)^8} \)
2. \( -0.4 b^{-3} c^7 \cdot 1.5 b^2 c^{-6} = (-0.4 \cdot 1.5) b^{-3+2} c^{7-6} = -0.6 b^{-1} c^1 = -\frac{0.6c}{b} \)
3. \( 0.45 m^{-3} n^2 p^{-4} \cdot \frac{1}{9} m^8 n^{-11} p^6 = (0.45 \cdot \frac{1}{9}) m^{-3+8} n^{2-11} p^{-4+6} = 0.05 m^5 n^{-9} p^2 = \frac{0.05 m^5 p^2}{n^9} \)
4. \( 5 a^{-6} \cdot (-3 a^{-2} b^3)^{-2} = 5 a^{-6} \cdot (-3)^{-2} (a^{-2})^{-2} (b^3)^{-2} = 5 a^{-6} \cdot \frac{1}{9} a^4 b^{-6} = \left( 5 \cdot \frac{1}{9} \right) a^{-6+4} b^{-6} = \frac{5}{9} a^{-2} b^{-6} = \frac{5}{9 a^2 b^6} \)

55. Выполните действия и приведите полученное выражение к виду, не содержащему степени с отрицательным показателем:

1. \( \frac{17 x^{-8}}{14 y^{-12}} : \frac{28 y}{51 x^{-21}} = \frac{17 x^{-8}}{14 y^{-12}} \cdot \frac{51 x^{-21}}{28 y} = \frac{17 \cdot 51}{14 \cdot 28} \cdot \frac{x^{-8} \cdot x^{-21}}{y^{-12} \cdot y} = \frac{867}{392} x^{-8-21} y^{-12-1} = \frac{867}{392} x^{-29} y^{-13} = \frac{867}{392 x^{29} y^{13}} \)
2. \( -1.6 m^{-4} n^3 \cdot (-2 m^{-8} p^{-6})^{-3} = -1.6 m^{-4} n^3 \cdot (-2)^{-3} (m^{-8})^{-3} (p^{-6})^{-3} = -1.6 m^{-4} n^3 \cdot (-\frac{1}{8}) m^{24} p^{18} = (-1.6 \cdot -\frac{1}{8}) m^{-4+24} n^3 p^{18} = 0.2 m^{20} n^3 p^{18} \)
3. \( 2 \frac{1}{4} a^{-5} b^{-6} \cdot (1 \frac{1}{2} a^{-1} b^{-3})^{-3} = \frac{9}{4} a^{-5} b^{-6} \cdot (\frac{3}{2} a^{-1} b^{-3})^{-3} = \frac{9}{4} a^{-5} b^{-6} \cdot (\frac{3}{2})^{-3} (a^{-1})^{-3} (b^{-3})^{-3} = \frac{9}{4} a^{-5} b^{-6} \cdot \frac{8}{27} a^3 b^9 = \left( \frac{9}{4} \cdot \frac{8}{27} \right) a^{-5+3} b^{-6+9} = \frac{2}{3} a^{-2} b^3 = \frac{2 b^3}{3 a^2} \)
4. \( (-10 a^{-2} b c^{-11})^{-2} \cdot (0.1 b c^{-2})^{-3} = (-10)^{-2} (a^{-2})^{-2} b^{-2} (c^{-11})^{-2} \cdot (0.1)^{-3} b^{-3} (c^{-2})^{-3} = \frac{1}{100} a^4 b^{-2} c^{22} \cdot 1000 b^{-3} c^6 = (\frac{1}{100} \cdot 1000) a^4 b^{-2-3} c^{22+6} = 10 a^4 b^{-5} c^{28} = \frac{10 a^4 c^{28}}{b^5} \)
5. \( (\frac{1}{5} a^{-3} b^{-7})^{-2} \cdot (-5 a^2 b^6)^{-2} = (\frac{1}{5})^{-2} (a^{-3})^{-2} (b^{-7})^{-2} \cdot (-5)^{-2} (a^2)^{-2} (b^6)^{-2} = 25 a^6 b^{14} \cdot \frac{1}{25} a^{-4} b^{-12} = (25 \cdot \frac{1}{25}) a^{6-4} b^{14-12} = 1 a^2 b^2 = a^2 b^2 \)
6. \( (\frac{8 p^{-4}}{9 q^{-1}})^{-2} \cdot (16 p^{-6} q^3)^3 = (\frac{8}{9})^{-2} (p^{-4})^{-2} (q^{-1})^{-2} \cdot 16^3 (p^{-6})^3 (q^3)^3 = (\frac{9}{8})^2 p^8 q^2 \cdot 4096 p^{-18} q^9 = \frac{81}{64} p^8 q^2 \cdot 4096 p^{-18} q^9 = (\frac{81}{64} \cdot 4096) p^{8-18} q^{2+9} = (81 \cdot 64) p^{-10} q^{11} = 5184 p^{-10} q^{11} = \frac{5184 q^{11}}{p^{10}} \)