Упражнения 1. Найдите десять рациональных чисел, которые заключены между числами 0,001 и 0,01. Найдите несколько рациональных сел, находящихся в этом промежутке. 2. Среди чисел 1,38; 2,5; 0; 1,(5); -1,68 1,48:24 4: Lela 1,75 найдите такие, которые заключены между иррациональны ми числами 2 и 3. 3. Какое из утверждений верно: «Если в є №, то є 2» или «см αε Ζ, το ae N»? 4. Найдите два значениях, при которых: а) хелихEN; 6) IEQUIEZ; в) 0,5(87); BZEQEZEN. г) 2 5. Каким из множеств N, Z, Q и в принадлежит 6) -1,98; a) 6; 6. Найдите три числа, которые принадлежат а) ZR; б) R и N; B) QR: T) N. QR 7. Представьте в виде бесконечной десятичной периодической д би число: a) B) e- D В каждом случае выделите период, заключив его в скобки. 8. Представьте число в виде бесконечной десятичной периодической дроби. Округлите результат до десятых; до сотых, до тысячы 2 B) 13 г) 64 37 15 9. Проверьте, выполнив деление, что верно равенство 6) 32 3. a) 2,(3) = 2; 21. 2 B) 7,(18) = 7; 3 11 7 6) 0,1(6)=; г) 3,4(6)=3 6 15 10. Докажите, что разность, произведение и частное двух рацио нальных чисел (делитель отличен от нуля) ные. 11. Запишите, используя знак є, утверждение: а) Число 13 является натуральным; б) число 0,8 является рациональным; яется действительным;

Ответ: см. решение ниже

1. Рациональные числа между 0,001 и 0,01

Чтобы найти десять рациональных чисел между 0,001 и 0,01, можно взять числа, кратные 0,001:

• 0,002
• 0,003
• 0,004
• 0,005
• 0,006
• 0,007
• 0,008
• 0,009
• 0,0095
• 0,0099

2. Числа между \[\sqrt{2}\] и \[\sqrt{3}\]

\[\sqrt{2} \approx 1,41\]

\[\sqrt{3} \approx 1,73\]

Среди предложенных чисел, между этими значениями находятся:

• 1,48
• 1,75

3. Какое из утверждений верно?

Верно утверждение: «Если \(a \in N\), то \(a \in Z\)».

Потому что все натуральные числа являются целыми.

4. Найдите два значения x

1. а) \(x \in Z\) и \(x
   otin N\): Пример: -1, -2, -3 и т.д.
2. б) \(x \in Q\) и \(x
   otin Z\): Пример: 0.5, 1.5, 2.5 и т.д.
3. в) \(x \in Q\) и \(x
   otin N\): Пример: -0.5, 0.5, 1.5 и т.д.

5. Принадлежность чисел к множествам

• a) 6 \(\in\) N, Z, Q, R
• б) -1,98 \(\in\) Q, R
• в) 0,5(87) \(\in\) Q, R
• г) \(\pi\) \(\in\) R

6. Три числа, принадлежащие множествам

• а) Z и R: -2, 0, 2
• б) R и N: 1, 2, 3
• в) Q и R: 0.5, 1.5, 2.5
• г) N, Q и R: 1, 2, 3

7. Представьте в виде бесконечной десятичной периодической дроби

• а) \(\frac{1}{3} = 0,(3)\)
• б) \(\frac{2}{3} = 0,(6)\)
• в) \(\frac{5}{6} = 0,8(3)\)
• г) \(\frac{7}{9} = 0,(7)\)
• д) \(1\frac{8}{11} = 1,(72)\)
• е) \(2\frac{4}{15} = 2,2(6)\)

8. Представьте число в виде бесконечной десятичной периодической дроби (с округлением)

• а) \(\frac{1}{9} = 0,(1) \approx 0,111 \approx 0,1\)
• б) \(\frac{3}{32} = 0,09375 \approx 0,094 \approx 0,1\)
• в) \(\frac{2}{7} = 0,(285714) \approx 0,286 \approx 0,3\)
• г) \(\frac{13}{64} = 0,203125 \approx 0,203 \approx 0,2\)
• д) \(\frac{37}{15} = 2,4(6) \approx 2,467 \approx 2,5\)
• е) \(\frac{87}{65} = 1,(338461) \approx 1,338 \approx 1,3\)

9. Проверьте, выполнив деление, что верно равенство

• а) \(2,(3) = 2\frac{1}{3}\) – Верно: \(2,(3) = 2 + \frac{3}{9} = 2 + \frac{1}{3} = 2\frac{1}{3}\)
• б) \(0,1(6) = \frac{1}{6}\) – Верно: \(0,1(6) = \frac{1}{10} + \frac{6}{90} = \frac{9}{90} + \frac{6}{90} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}\)
• в) \(7,(18) = 7\frac{2}{11}\) – Верно: \(7,(18) = 7 + \frac{18}{99} = 7 + \frac{2}{11} = 7\frac{2}{11}\)
• г) \(3,4(6) = 3\frac{7}{15}\) – Верно: \(3,4(6) = 3 + \frac{4}{10} + \frac{6}{90} = 3 + \frac{36}{90} + \frac{6}{90} = 3 + \frac{42}{90} = 3 + \frac{7}{15} = 3\frac{7}{15}\)

10. Докажите, что разность, произведение и частное двух рациональных чисел (делитель отличен от нуля) — числа рациональные.

Доказательство:

• Разность: Пусть a и b — рациональные числа. Тогда a = p/q и b = r/s, где p, q, r, s — целые числа и q, s ≠ 0. a - b = p/q - r/s = (ps - qr) / (qs). Так как ps - qr и qs — целые числа, то a - b — рациональное число.
• Произведение: a ⋅ b = (p/q) ⋅ (r/s) = (pr) / (qs). Так как pr и qs — целые числа, то a ⋅ b — рациональное число.
• Частное: a / b = (p/q) / (r/s) = (p/q) ⋅ (s/r) = (ps) / (qr). Так как ps и qr — целые числа, то a / b — рациональное число.

11. Запишите, используя знак ∈, утверждение:

• а) Число 13 является натуральным: 13 ∈ N
• б) Число 0,8 является рациональным: 0,8 ∈ Q
• в) Число \(\sqrt{3}\) является действительным: \(\sqrt{3}\) ∈ R

Ответ: см. решение выше