Упражнения 617. Разложите на множители квадратный трёхчлен: a) 3x² 24x + 21; г) х² 2 - 12x + 20; 2 9 ж) 2x² - 5x + 3;

Решение:

а) Разложим квадратный трёхчлен $$3x^2 - 24x + 21$$ на множители.

1. Вынесем общий множитель 3 за скобки: $$3(x^2 - 8x + 7)$$.
2. Найдём корни квадратного трёхчлена $$x^2 - 8x + 7$$.
   • По теореме Виета: $$\begin{cases} x_1 + x_2 = 8 \\ x_1 \cdot x_2 = 7 \end{cases}$$
   • Отсюда $$x_1 = 1$$ и $$x_2 = 7$$.
3. Разложим квадратный трёхчлен на множители: $$x^2 - 8x + 7 = (x - 1)(x - 7)$$.
4. Итоговое разложение: $$3x^2 - 24x + 21 = 3(x - 1)(x - 7)$$.

г) Разложим квадратный трёхчлен $$x^2 - 12x + 20$$ на множители.

1. Найдём корни квадратного трёхчлена $$x^2 - 12x + 20$$.
   • По теореме Виета: $$\begin{cases} x_1 + x_2 = 12 \\ x_1 \cdot x_2 = 20 \end{cases}$$
   • Отсюда $$x_1 = 2$$ и $$x_2 = 10$$.
2. Разложим квадратный трёхчлен на множители: $$x^2 - 12x + 20 = (x - 2)(x - 10)$$.
3. Итоговое разложение: $$x^2 - 12x + 20 = (x - 2)(x - 10)$$.

ж) Разложим квадратный трёхчлен $$2x^2 - 5x + 3$$ на множители.

1. Найдём корни квадратного трёхчлена $$2x^2 - 5x + 3$$.
   • Вычислим дискриминант: $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$$.
   • Найдём корни: $$x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 1}{4}$$.
   • Отсюда $$x_1 = \frac{5 + 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5$$ и $$x_2 = \frac{5 - 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$$.
2. Разложим квадратный трёхчлен на множители: $$2x^2 - 5x + 3 = 2(x - 1.5)(x - 1) = 2(x - \frac{3}{2})(x - 1) = (2x - 3)(x - 1)$$.
3. Итоговое разложение: $$2x^2 - 5x + 3 = (2x - 3)(x - 1)$$.

Ответ: a) $$3(x - 1)(x - 7)$$; г) $$(x - 2)(x - 10)$$; ж) $$(2x - 3)(x - 1)$$