Упрости выражение (2x + y)³ + (x - y)³ x² + xy + y² Запиши в поле ответа одночлен в стандартном виде.

Давай упростим это выражение по шагам!

Нам нужно упростить дробь: \[ \frac{(2x + y)^3 + (x - y)^3}{x^2 + xy + y^2} \]

Шаг 1: Раскроем кубы в числителе.

Вспомним формулу куба суммы: \( (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \)

И формулу куба разности: \( (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \)

Применим их к нашему выражению:

\( (2x + y)^3 = (2x)^3 + 3(2x)^2y + 3(2x)y^2 + y^3 = 8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3 \)

\( (x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 \)

Теперь сложим их:

\( (2x + y)^3 + (x - y)^3 = (8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3) + (x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3) \)

Объединим подобные члены:

\( = (8x^3 + x^3) + (12x^2y - 3x^2y) + (6xy^2 + 3xy^2) + (y^3 - y^3) \)

\( = 9x^3 + 9x^2y + 9xy^2 \)

Шаг 2: Преобразуем полученное выражение.

Мы видим, что общий множитель \( 9x \) можно вынести за скобки:

\( 9x^3 + 9x^2y + 9xy^2 = 9x(x^2 + xy + y^2) \)

Шаг 3: Подставим упрощенный числитель обратно в дробь.

Теперь наша дробь выглядит так:

\[ \frac{9x(x^2 + xy + y^2)}{x^2 + xy + y^2} \]

Шаг 4: Сократим дробь.

Мы видим, что выражение \( x^2 + xy + y^2 \) есть и в числителе, и в знаменателе. Мы можем его сократить (при условии, что \( x^2 + xy + y^2 \) не равно нулю).

\[ \frac{9x\cancel{(x^2 + xy + y^2)}}{\cancel{x^2 + xy + y^2}} = 9x \]

Шаг 5: Запишем ответ в стандартном виде.

Полученный одночлен \( 9x \) уже находится в стандартном виде.

Ответ: 9x.