Упрости выражение: (3x + 3y)^3 - (3x + y)^3 / 27x^2 + 36xy + 13y^2. Запиши в поле ответа одночлен в стандартном виде.

Решение:

Для упрощения выражения, сначала раскроем кубы в числителе.

Числитель:

\( (3x + 3y)^3 = (3(x+y))^3 = 27(x+y)^3 = 27(x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) \)

\( (3x + y)^3 = (3x)^3 + 3(3x)^2y + 3(3x)y^2 + y^3 = 27x^3 + 27x^2y + 9xy^2 + y^3 \)

Разность числителя:

\( 27(x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) - (27x^3 + 27x^2y + 9xy^2 + y^3) \)

\( = 27x^3 + 81x^2y + 81xy^2 + 27y^3 - 27x^3 - 27x^2y - 9xy^2 - y^3 \)

\( = (27x^3 - 27x^3) + (81x^2y - 27x^2y) + (81xy^2 - 9xy^2) + (27y^3 - y^3) \)

\( = 54x^2y + 72xy^2 + 26y^3 \)

Знаменатель:

\( 27x^2 + 36xy + 13y^2 \)

Теперь попытаемся разделить числитель на знаменатель. Однако, заметим, что в исходном выражении в числителе есть два одинаковых куба: \( (3x+3y)^3 - (3x+y)^3 \). Это может означать, что после раскрытия скобок мы должны были получить выражение, которое делится на знаменатель. Если предположить, что есть опечатка и должно быть \( (3x+3y)^3 \) и \( (3x+y)^3 \) , то упрощение выглядит так.

Рассмотрим знаменатель. Он похож на квадрат суммы, но не совсем.

Давайте перепишем числитель, вынося множитель 2 из первой части:

\( (3x+3y)^3 = (3(x+y))^3 = 27(x+y)^3 \)

Если мы попробуем сделать замену: \( a = 3x \), \( b = y \), то выражение не упрощается.

Давайте перепишем знаменатель, чтобы увидеть, может ли он быть множителем числителя:

\( 27x^2 + 36xy + 13y^2 \)

Обратим внимание на структуру числителя: \( A^3 - B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2) \).

Пусть \( A = 3x + 3y \) и \( B = 3x + y \).

\( A - B = (3x+3y) - (3x+y) = 3x + 3y - 3x - y = 2y \)

\( A^2 = (3x+3y)^2 = 9x^2 + 18xy + 9y^2 \)

\( AB = (3x+3y)(3x+y) = 9x^2 + 3xy + 9xy + 3y^2 = 9x^2 + 12xy + 3y^2 \)

\( B^2 = (3x+y)^2 = 9x^2 + 6xy + y^2 \)

\( A^2 + AB + B^2 = (9x^2 + 18xy + 9y^2) + (9x^2 + 12xy + 3y^2) + (9x^2 + 6xy + y^2) \)

\( = (9x^2 + 9x^2 + 9x^2) + (18xy + 12xy + 6xy) + (9y^2 + 3y^2 + y^2) \)

\( = 27x^2 + 36xy + 13y^2 \)

Таким образом, знаменатель равен \( A^2 + AB + B^2 \).

Тогда числитель \( A^3 - B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2) = (2y)(27x^2 + 36xy + 13y^2) \).

Исходное выражение равно:

\( \frac{(2y)(27x^2 + 36xy + 13y^2)}{27x^2 + 36xy + 13y^2} \)

После сокращения знаменателя получаем:

\( 2y \)

Ответ: 2y.