Упрости выражение: \(\frac{3}{x-3} - \frac{x+15}{x^2-9} - \frac{2}{x}\)

Привет! Давай разберемся с этим выражением вместе.

Шаг 1: Приведение к общему знаменателю

Сначала разложим знаменатель $$x^2-9$$ на множители: $$x^2-9 = (x-3)(x+3)$$.

Теперь запишем все дроби с общим знаменателем $$(x-3)(x+3)x$$.

• Первая дробь: $$\frac{3}{x-3} = \frac{3 \cdot (x+3)x}{(x-3)(x+3)x} = \frac{3x(x+3)}{(x-3)(x+3)x}$$
• Вторая дробь: $$\frac{x+15}{x^2-9} = \frac{x+15}{(x-3)(x+3)} = \frac{(x+15)x}{(x-3)(x+3)x} = \frac{x(x+15)}{(x-3)(x+3)x}$$
• Третья дробь: $$\frac{2}{x} = \frac{2 \cdot (x-3)(x+3)}{x(x-3)(x+3)} = \frac{2(x^2-9)}{x(x-3)(x+3)}$$

Теперь вычитаем дроби:

• \[ \frac{3x(x+3) - x(x+15) - 2(x^2-9)}{(x-3)(x+3)x} \]

Шаг 2: Раскрываем скобки в числителе

• $$3x(x+3) = 3x^2 + 9x$$
• $$x(x+15) = x^2 + 15x$$
• $$2(x^2-9) = 2x^2 - 18$$

Подставляем обратно:

• \[ \frac{(3x^2 + 9x) - (x^2 + 15x) - (2x^2 - 18)}{(x-3)(x+3)x} \]

Шаг 3: Упрощаем числитель

• $$3x^2 + 9x - x^2 - 15x - 2x^2 + 18$$
• $$(3x^2 - x^2 - 2x^2) + (9x - 15x) + 18$$
• $$0x^2 - 6x + 18$$
• $$-6x + 18$$

Таким образом, наше выражение становится:

• \[ \frac{-6x + 18}{(x-3)(x+3)x} \]

Шаг 4: Выносим общий множитель в числителе

• $$-6x + 18 = -6(x - 3)$$

Теперь выражение выглядит так:

• \[ \frac{-6(x - 3)}{(x-3)(x+3)x} \]

Шаг 5: Сокращаем дробь

Мы можем сократить $$(x-3)$$:

• \[ \frac{-6}{(x+3)x} \]

Шаг 6: Преобразуем знаменатель и записываем окончательный ответ

• $$(x+3)x = x^2 + 3x$$

Итоговое упрощенное выражение:

• \[ \frac{-6}{x^2 + 3x} \]

Сравниваем с вариантами ответа:

• Вариант 1: $$ -\frac{6}{x^2 - 3x} $$
• Вариант 2: $$ -\frac{6}{x^2 + 3x} $$
• Вариант 3: $$ \frac{6}{x^2 + 3x} $$
• Вариант 4: $$ -\frac{6}{x + 3} $$

Наш результат совпадает со вторым вариантом.

Ответ: $$-\frac{6}{x^2 + 3x}$$