Упрости выражение: \( \frac{(3x + 3y)^3 - (3x + y)^3}{27x^2 + 36xy + 13y^2} \). Запиши в поле ответа одночлен в стандартном виде.

Решение:

Для упрощения выражения раскроем кубы в числителе:

\( (3x + 3y)^3 = (3(x+y))^3 = 27(x+y)^3 = 27(x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) \)

\( (3x + y)^3 = (3x)^3 + 3(3x)^2y + 3(3x)y^2 + y^3 = 27x^3 + 27x^2y + 9xy^2 + y^3 \)

Теперь вычтем второе выражение из первого:

\( (3x + 3y)^3 - (3x + y)^3 = (27x^3 + 81x^2y + 81xy^2 + 27y^3) - (27x^3 + 27x^2y + 9xy^2 + y^3) \)

\( = 27x^3 + 81x^2y + 81xy^2 + 27y^3 - 27x^3 - 27x^2y - 9xy^2 - y^3 \)

\( = (27x^3 - 27x^3) + (81x^2y - 27x^2y) + (81xy^2 - 9xy^2) + (27y^3 - y^3) \)

\( = 54x^2y + 72xy^2 + 26y^3 \)

Теперь рассмотрим знаменатель:

\( 27x^2 + 36xy + 13y^2 \)

Из-за сложности знаменателя, предполагаем, что в задании допущена опечатка и попробуем упростить, предполагая, что числитель должен привести к некоторому выражению, которое упростится со знаменателем. Однако, если следовать точно условию, то:

\( \frac{54x^2y + 72xy^2 + 26y^3}{27x^2 + 36xy + 13y^2} \)

Можно заметить, что числитель равен \( 2y(27x^2 + 36xy + 13y^2) \).

Тогда выражение упрощается:

\( \frac{2y(27x^2 + 36xy + 13y^2)}{27x^2 + 36xy + 13y^2} = 2y \)

Если предположить, что в знаменателе должна быть какая-то другая комбинация, например \( 27x^3 + ... \), то решение было бы иным. Исходя из данного вида, ответ — \( 2y \).

Ответ: 2y