Упрости выражение и определи числовой коэффициент получившегося одночлена: (6x^8)^3 \(\cdot\) \(\frac{1}{9}\)x^5)^2. Запиши в поле ответа верное число. Числовой коэффициент:

Решение:

Чтобы упростить выражение \( \left( (6x^8)^3 \cdot \frac{1}{9}x^5 \right)^2 \), выполним следующие шаги:

1. Возведём \( (6x^8)^3 \) в степень 3: \( (6x^8)^3 = 6^3 \cdot (x^8)^3 = 216 \cdot x^{8 \cdot 3} = 216x^{24} \).
2. Теперь подставим это в выражение внутри скобок: \( 216x^{24} \cdot \frac{1}{9}x^5 \).
3. Перемножим числовые коэффициенты и степени с одинаковым основанием: \( \left( 216 \cdot \frac{1}{9} \right) \cdot (x^{24} \cdot x^5) \).
4. Упростим числовой коэффициент: \( 216 \cdot \frac{1}{9} = \frac{216}{9} = 24 \).
5. Сложим степени с одинаковым основанием: \( x^{24} \cdot x^5 = x^{24+5} = x^{29} \).
6. Таким образом, выражение внутри скобок равно \( 24x^{29} \).
7. Теперь возведём полученное выражение во степень 2: \( \left( 24x^{29} \right)^2 \).
8. Возведём числовой коэффициент в степень 2: \( 24^2 = 576 \).
9. Возведём переменную в степень 2: \( (x^{29})^2 = x^{29 \cdot 2} = x^{58} \).
10. Итоговое упрощённое выражение: \( 576x^{58} \).

Числовой коэффициент получившегося одночлена равен 576.

Ответ: 576