Упрости выражение: $$ \left( \frac{b+c}{bc} \right)^{-1} \cdot \left( \frac{b}{c} - \frac{c}{b} \right) $$

Решение:

Сначала упростим первое выражение в скобках:

$$ \left( \frac{b+c}{bc} \right)^{-1} = \frac{bc}{b+c} $$

Теперь упростим второе выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю:

$$ \frac{b}{c} - \frac{c}{b} = \frac{b \cdot b}{c \cdot b} - \frac{c \cdot c}{b \cdot c} = \frac{b^2 - c^2}{bc} $$

Теперь перемножим полученные выражения:

$$ \frac{bc}{b+c} \cdot \frac{b^2 - c^2}{bc} $$

Сократим \( bc \) в числителе и знаменателе:

$$ \frac{b^2 - c^2}{b+c} $$

Разложим числитель как разность квадратов: \( b^2 - c^2 = (b-c)(b+c) \).

$$ \frac{(b-c)(b+c)}{b+c} $$

Сократим \( b+c \) в числителе и знаменателе:

$$ b-c $$

Запишем ответ в виде дроби, где числитель равен \( b-c \) и знаменатель равен 1.

Ответ: Числитель полученной дроби равен \( b-c \).