Упрости выражение. \(\frac{a^3b + 2a}{4b} \cdot \frac{8b^3}{a^3b^2 + 2ab}\)

Решение:

Чтобы упростить данное выражение, выполним умножение дробей, предварительно разложив числители и знаменатели на множители.

1. Разложим числитель первой дроби: \( a^3b + 2a = a(a^2b + 2) \).
2. Разложим знаменатель второй дроби: \( a^3b^2 + 2ab = ab(a^2b + 2) \).
3. Теперь подставим разложенные выражения обратно в исходное: \[ \frac{a(a^2b + 2)}{4b} \cdot \frac{8b^3}{ab(a^2b + 2)} \]
4. Сократим общие множители в числителе и знаменателе. Множитель \( a \) и \( (a^2b + 2) \) сокращаются.
5. Сократим дробные множители: \( \frac{8b^3}{4b} = 2b^2 \).
6. После сокращений получаем: \[ \frac{1}{4b} \cdot \frac{8b^3}{b} = \frac{8b^3}{4b^2} = 2b \].
7. Собираем всё вместе:

\( \frac{a(a^2b + 2)}{4b} \cdot \frac{8b^3}{ab(a^2b + 2)} = \frac{a \cdot (a^2b + 2) \cdot 8b^3}{4b \cdot a \cdot b \cdot (a^2b + 2)} \)

Теперь сокращаем: \( a \) сокращается с \( a \), \( (a^2b + 2) \) сокращается с \( (a^2b + 2) \). Остаётся:

\( \frac{8b^3}{4b^2} \)

Упрощаем степень \( b \): \( b^3 / b^2 = b \). Упрощаем числовые коэффициенты: \( 8/4 = 2 \). Получаем:

\( 2b \)

Ответ: 2b