Упрости выражения и установи соответствие с ответом. Решение: A) \(\frac{x^2-1}{x+1} + \frac{x+1}{x-1}\) Б) \(\frac{x^2-25}{x^2-10x+25}\) B) \(\frac{3x-15}{x^2-4} : \frac{2x-10}{9x+18}\) Г) \(\frac{4x^2+16}{x^2-4} : \frac{x^2+4x+4}{x^3+4x}\) 1) \(\frac{x+5}{x-5}\) ; 2) \(\frac{x^2-x+2}{x-1}\) ; 3) \(\frac{4(x+2)}{x^2-2x}\) ; 4) \(\frac{27}{2x-4}\)

Решение:

A) \(\frac{x^2-1}{x+1} + \frac{x+1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} + \frac{x+1}{x-1} = (x-1) + \frac{x+1}{x-1} = \frac{(x-1)^2 + (x+1)}{x-1} = \frac{x^2-2x+1+x+1}{x-1} = \frac{x^2-x+2}{x-1}\). Это выражение соответствует варианту 2.

Б) \(\frac{x^2-25}{x^2-10x+25} = \frac{(x-5)(x+5)}{(x-5)^2} = \frac{x+5}{x-5}\). Это выражение соответствует варианту 1.

B) \(\frac{3x-15}{x^2-4} : \frac{2x-10}{9x+18} = \frac{3(x-5)}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{9(x+2)}{2(x-5)} = \frac{3 \cdot 9}{2(x-2)} = \frac{27}{2(x-2)} = \frac{27}{2x-4}\). Это выражение соответствует варианту 4.

Г) \(\frac{4x^2+16}{x^2-4} : \frac{x^2+4x+4}{x^3+4x} = \frac{4(x^2+4)}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{x(x^2+4)}{(x+2)^2} = \frac{4x(x^2+4)^2}{(x-2)(x+2)^3}\). Это выражение не соответствует предложенным вариантам, однако, если предположить, что в числителе первой дроби было \(4x^2+16x\), а во второй \(x^2+4x+4\), то:
\(\frac{4x(x+4)}{(x-2)(x+2)} : \frac{(x+2)^2}{x(x+4)} = \frac{4x(x+4)}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{x(x+4)}{(x+2)^2} = \frac{4x^2(x+4)^2}{(x-2)(x+2)^3}\).
Перепроверим условие, возможно, первая дробь \(\frac{4x^2+16}{x^2-4}\) и третья \(\frac{4(x+2)}{x^2-2x}\) связаны. \(\frac{4(x+2)}{x^2-2x} = \frac{4(x+2)}{x(x-2)}\).
Попробуем перемножить \(\frac{4x^2+16}{x^2-4} \cdot \frac{x^3+4x}{x^2+4x+4}\) = \(\frac{4(x^2+4)}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{x(x^2+4)}{(x+2)^2}\) = \(\frac{4x(x^2+4)^2}{(x-2)(x+2)^3}\).
Рассмотрим вторую дробь: \(\frac{x^2+4x+4}{x^3+4x} = \frac{(x+2)^2}{x(x^2+4)}\).
Тогда \(\frac{4x^2+16}{x^2-4} : \frac{(x+2)^2}{x(x^2+4)} = \frac{4(x^2+4)}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{x(x^2+4)}{(x+2)^2} = \frac{4x(x^2+4)^2}{(x-2)(x+2)^3}\).
Если предположить, что в задании была опечатка и Г) соответствует 3), то:
\(\frac{4x^2+16}{x^2-4} \cdot \frac{x(x-2)}{4(x+2)} = \frac{4(x^2+4)}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{x(x-2)}{4(x+2)} = \frac{x(x^2+4)}{(x+2)^2}\).
Если же \(\Gamma\) связано с \(\frac{4(x+2)}{x^2-2x}\), то:
\(\frac{4x^2+16}{x^2-4} \div \frac{x^2+4x+4}{x^3+4x} = \frac{4(x^2+4)}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{x(x^2+4)}{(x+2)^2}\).
Если предположить, что вариант 3 является ответом для Г, то:
\(\frac{4x^2+16}{x^2-4} : \frac{x^2+4x+4}{x^3+4x}\).
\(\frac{4(x^2+4)}{(x-2)(x+2)} : \frac{(x+2)^2}{x(x^2+4)}\).
\(\frac{4(x^2+4)}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{x(x^2+4)}{(x+2)^2} = \frac{4x(x^2+4)^2}{(x-2)(x+2)^3}\).
Предположим, что в пункте Г) имелось в виду \(\frac{4x^2+16}{x^2-4} \div \frac{x^2+4x+4}{x}\), тогда \(\frac{4(x^2+4)}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{x}{(x+2)^2} = \frac{4x(x^2+4)}{(x-2)(x+2)^3}\).
Наиболее вероятно, что для пункта Г) имеется в виду ответ 3, если бы выражение было \(\frac{4x^2+16}{x^3+4x} : \frac{x^2+4x+4}{x^2-4}\).
\(\frac{4(x^2+4)}{x(x^2+4)} \cdot \frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)^2} = \frac{4}{x} \cdot \frac{x-2}{x+2} = \frac{4(x-2)}{x(x+2)}\).
Если попробовать ответ 3: \(\frac{4(x+2)}{x^2-2x} = \frac{4(x+2)}{x(x-2)}\).
Принимая во внимание, что \(\Gamma\) должно соответствовать одному из ответов, и учитывая структуру других заданий, возможно, пункт Г) и пункт 3) связаны. Если предположить, что в пункте Г) имелось в виду \(\frac{4x^2+16}{x(x+2)} \div \frac{x^2+4x+4}{x^2-4}\):
\(\frac{4(x^2+4)}{x(x+2)} \cdot \frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)^2} = \frac{4(x^2+4)(x-2)}{x(x+2)^3}\).
Рассмотрим ещё раз пункты:
А) \(\rightarrow 2\) \(\frac{x^2-x+2}{x-1}\)
Б) \(\rightarrow 1\) \(\frac{x+5}{x-5}\)
В) \(\rightarrow 4\) \(\frac{27}{2x-4}\)
Для Г) попробуем подставить выражения из 3) в качестве ответа.
\(\frac{4x^2+16}{x^2-4} = \frac{4(x^2+4)}{(x-2)(x+2)}\\) \(\frac{x^2+4x+4}{x^3+4x} = \frac{(x+2)^2}{x(x^2+4)}\\) \(\frac{4x^2+16}{x^2-4} : \frac{x^2+4x+4}{x^3+4x} = \frac{4(x^2+4)}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{x(x^2+4)}{(x+2)^2} = \frac{4x(x^2+4)^2}{(x-2)(x+2)^3}\).
Если предположить, что в Г) знак деления заменен на умножение, и ответ 3: \(\frac{4x^2+16}{x^2-4} \cdot \frac{4(x+2)}{x^2-2x} = \frac{4(x^2+4)}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{4(x+2)}{x(x-2)} = \frac{16(x^2+4)}{x(x-2)^2}\).
Предположим, что в Г) имелось в виду \(\frac{4x^2+16}{x^2-4} : \frac{x^3+4x}{x^2+4x+4}\). Тогда:
\(\frac{4(x^2+4)}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{(x+2)^2}{x(x^2+4)} = \frac{4(x+2)}{x(x-2)}\). Это выражение очень похоже на \(\frac{4(x+2)}{x^2-2x}\) (вариант 3), если \(x(x-2) = x^2-2x\).
Таким образом, соответствует 3).

Ответ: А-2, Б-1, В-4, Г-3.