Упростить: 1) $(a^{-3}+b^{-3})\cdot(a^{-2}-b^{-2})^{-1}\\cdot(a^{-2}-a^{-1}b^{-1}+b^{-2})^{-1}$;

Question

Вопрос: $Фото задания: Упростить: 1) $(a^{-3}+b^{-3})\cdot(a^{-2}-b^{-2})^{-1}\\cdot(a^{-2}-a^{-1}b^{-1}+b^{-2})^{-1}$;$ Фото задания

Accepted Answer

Преобразуем множители:

\[a^{-3}+b^{-3}=\frac{a^3+b^3}{a^3b^3}=\frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{a^3b^3}.\]

\[a^{-2}-b^{-2}=\frac{b^2-a^2}{a^2b^2}=-\frac{(a-b)(a+b)}{a^2b^2},\]

поэтому

\[(a^{-2}-b^{-2})^{-1}=-\frac{a^2b^2}{(a-b)(a+b)}.\]

Также

\[a^{-2}-a^{-1}b^{-1}+b^{-2}=\frac{a^2-ab+b^2}{a^2b^2},\]

следовательно,

\[(a^{-2}-a^{-1}b^{-1}+b^{-2})^{-1}=\frac{a^2b^2}{a^2-ab+b^2}.\]

Подставляем и сокращаем:

\[\frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{a^3b^3}\cdot\left(-\frac{a^2b^2}{(a-b)(a+b)}\right)\cdot\frac{a^2b^2}{a^2-ab+b^2}=\frac{ab}{b-a}.\]

Ответ: $\frac{ab}{b-a}$.

Упростить: 1) \((a^{-3}+b^{-3})\cdot(a^{-2}-b^{-2})^{-1}\\cdot(a^{-2}-a^{-1}b^{-1}+b^{-2})^{-1}\);