Упростить: 1) \(\frac{5^{3}5^{4}}{ (5^{2})^{3} }\) 2) \(\frac{7^{7}}{ (7^{5})^{2} }\) 3) \(\frac{(b^{3})^{2}b^{3}b}{ (b^{2})^{4} } - b^{2}\) 4) \( (\frac{1}{m})^{3} (\frac{1}{m})^{2} m^{5}\) 6) \( ((\frac{1}{a})^{4})^{3} - (\frac{1}{a})^{11} \frac{1}{a}\) Найти произведение одночленов: -12a⁴bc²d · 5ac³d⁴ · (-3b³cd²);

Решение:

1. \(\frac{5^{3}5^{4}}{ (5^{2})^{3} } = \frac{5^{3+4}}{ 5^{2 · 3} } = \frac{5^{7}}{ 5^{6} } = 5^{7-6} = 5^{1} = 5\)
2. \(\frac{7^{7}}{ (7^{5})^{2} } = \frac{7^{7}}{ 7^{5 · 2} } = \frac{7^{7}}{ 7^{10} } = 7^{7-10} = 7^{-3} = \frac{1}{7^{3}} = \frac{1}{343}\)
3. \(\frac{(b^{3})^{2}b^{3}b}{ (b^{2})^{4} } - b^{2} = \frac{b^{3 · 2}b^{3}b^{1}}{ b^{2 · 4} } - b^{2} = \frac{b^{6}b^{3}b^{1}}{ b^{8} } - b^{2} = \frac{b^{6+3+1}}{ b^{8} } - b^{2} = \frac{b^{10}}{ b^{8} } - b^{2} = b^{10-8} - b^{2} = b^{2} - b^{2} = 0\)
4. \( (\frac{1}{m})^{3} (\frac{1}{m})^{2} m^{5} = (\frac{1}{m})^{3+2} m^{5} = (\frac{1}{m})^{5} m^{5} = \frac{1^{5}}{ m^{5} } m^{5} = \frac{1}{m^{5}} m^{5} = 1\)
5. \( ((\frac{1}{a})^{4})^{3} - (\frac{1}{a})^{11} \frac{1}{a} = (\frac{1}{a})^{4 · 3} - (\frac{1}{a})^{11+1} = (\frac{1}{a})^{12} - (\frac{1}{a})^{12} = 0\)
6. \( -12a^{4}bc^{2}d · 5ac^{3}d^{4} · (-3b^{3}cd^{2}) \)

7. Сгруппируем числовые коэффициенты: \( (-12) · 5 · (-3) \)
8. Сгруппируем степени \(a\): \( a^{4} · a^{1} = a^{4+1} = a^{5} \)
9. Сгруппируем степени \(b\): \( b^{1} · b^{3} = b^{1+3} = b^{4} \)
10. Сгруппируем степени \(c\): \( c^{2} · c^{3} · c^{1} = c^{2+3+1} = c^{6} \)
11. Сгруппируем степени \(d\): \( d^{1} · d^{4} · d^{2} = d^{1+4+2} = d^{7} \)
12. Перемножим числовые коэффициенты: \( (-12) · 5 = -60 \); \( -60 · (-3) = 180 \)
13. Объединим все части: \( 180 a^{5} b^{4} c^{6} d^{7} \)

Ответ: 1) 5; 2) \(\frac{1}{343}\); 3) 0; 4) 1; 5) 0; 6) \( 180 a^{5} b^{4} c^{6} d^{7} \).