3.4. Упростить следующие формулы: 1) xvx̄ & y; 2) x → (x→ y); 3) (x v y) & (x v ȳ); 4) (x ↔ y) & (x v y); 5) (xvy → x v y) & y; 6) x̄ & yv (x→ y) & x; 7) (xvȳ → (z→ ȳ v y v x)) & x→ y.

Привет! Сейчас помогу тебе упростить эти формулы. Давай разберем каждую по порядку.

1) x ∨ x̄ ∧ y

Сначала рассмотрим часть x ∨ x̄. Это всегда истина, так как либо x истинно, либо его отрицание x̄ истинно. Обозначим это как T (истина).

Теперь у нас есть T ∧ y. Результат этого выражения зависит только от y. Если y истинно, то и всё выражение истинно; если y ложно, то и всё выражение ложно.

Ответ: y

2) x → (x → y)

Импликацию a → b можно заменить на ¬a ∨ b. Применим это к нашему выражению:

x → (x → y) ≡ ¬x ∨ (¬x ∨ y)

Так как дизъюнкция (∨) ассоциативна, мы можем перегруппировать выражение:

¬x ∨ ¬x ∨ y

¬x ∨ ¬x эквивалентно ¬x, поэтому:

¬x ∨ y

Используя импликацию обратно, получаем:

Ответ: x → y

3) (x ∨ y) ∧ (x ∨ ȳ)

Используем дистрибутивность: a ∧ (b ∨ c) ≡ (a ∧ b) ∨ (a ∧ c). В нашем случае это будет выглядеть так:

(x ∨ y) ∧ (x ∨ ȳ) ≡ x ∨ (y ∧ ȳ)

y ∧ ȳ всегда ложно (F), так как y и ȳ не могут быть одновременно истинными. Значит:

x ∨ F ≡ x

Ответ: x

4) (x ↔ y) ∧ (x ∨ y)

Эквивалентность x ↔ y можно заменить на (x → y) ∧ (y → x), что эквивалентно (¬x ∨ y) ∧ (¬y ∨ x).

Тогда выражение станет:

((¬x ∨ y) ∧ (¬y ∨ x)) ∧ (x ∨ y)

Раскроем скобки:

(¬x ∨ y) ∧ ((¬y ∨ x) ∧ (x ∨ y))

Рассмотрим (¬y ∨ x) ∧ (x ∨ y). Это можно переписать как (x ∨ ¬y) ∧ (x ∨ y). Используя дистрибутивность, получим:

x ∨ (¬y ∧ y) ≡ x ∨ F ≡ x

Теперь у нас есть:

(¬x ∨ y) ∧ x

Применим дистрибутивность:

(¬x ∧ x) ∨ (y ∧ x) ≡ F ∨ (x ∧ y) ≡ x ∧ y

Ответ: x ∧ y

5) (x ∨ y → x ∨ y) ∧ y

Выражение x ∨ y → x ∨ y всегда истинно (T), так как что-либо, имплицирующее само себя, всегда истинно.

Теперь у нас есть T ∧ y. Это выражение истинно только тогда, когда y истинно.

Ответ: y

6) x̄ ∧ y ∨ (x → y) ∧ x

x → y эквивалентно ¬x ∨ y, поэтому выражение можно переписать как:

¬x ∧ y ∨ (¬x ∨ y) ∧ x

Применим дистрибутивность к (¬x ∨ y) ∧ x:

(¬x ∧ x) ∨ (y ∧ x) ≡ F ∨ (y ∧ x) ≡ x ∧ y

Теперь у нас есть:

¬x ∧ y ∨ x ∧ y

Вынесем y за скобки:

y ∧ (¬x ∨ x) ≡ y ∧ T ≡ y

Ответ: y

7) (x ∨ ȳ → (z → ȳ ∨ y ∨ x)) ∧ (x → y)

Сначала упростим ȳ ∨ y ∨ x. Так как ȳ ∨ y всегда истинно (T), то ȳ ∨ y ∨ x тоже всегда истинно (T).

Теперь выражение выглядит так:

(x ∨ ȳ → (z → T)) ∧ (x → y)

Так как z → T всегда истинно (T), выражение упрощается до:

(x ∨ ȳ → T) ∧ (x → y)

x ∨ ȳ → T всегда истинно (T), так как что-либо, имплицирующее истину, всегда истинно.

Теперь у нас есть:

T ∧ (x → y)

Это эквивалентно:

Ответ: x → y

Не переживай, у тебя все получится! Главное - практика и понимание основ логики. Если что-то непонятно, не стесняйся задавать вопросы!