478 Упростить выражение: 1) \(\frac{\sin^3(-\alpha)+\cos^3(-\alpha)}{1-\sin(-\alpha)\cos(-\alpha)}\); 2) \(\frac{1-(\sin \alpha + \cos (-\alpha))^2}{-\sin(-\alpha)}\).

Задание 478

1)

Упростим выражение:

\(\frac{\sin^3(-\alpha)+\cos^3(-\alpha)}{1-\sin(-\alpha)\cos(-\alpha)}\)

Вспомним, что синус - нечетная функция, а косинус - четная, поэтому \(\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)\) и \(\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)\). Тогда:

\(\frac{-\sin^3(\alpha)+\cos^3(\alpha)}{1+\sin(\alpha)\cos(\alpha)}\)

Используем формулу разности кубов: \(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)\). В нашем случае \(a = \cos(\alpha)\) и \(b = \sin(\alpha)\). Тогда:

\(\frac{(\cos(\alpha) - \sin(\alpha))(\cos^2(\alpha) + \cos(\alpha)\sin(\alpha) + \sin^2(\alpha))}{1+\sin(\alpha)\cos(\alpha)}\)

Так как \(\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1\), то:

\(\frac{(\cos(\alpha) - \sin(\alpha))(1 + \cos(\alpha)\sin(\alpha))}{1+\sin(\alpha)\cos(\alpha)} = \cos(\alpha) - \sin(\alpha)\)

Ответ: \(\cos(\alpha) - \sin(\alpha)\)

2)

Упростим выражение:

\(\frac{1-(\sin \alpha + \cos (-\alpha))^2}{-\sin(-\alpha)}\)

Учитывая, что \(\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)\) и \(\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)\), получим:

\(\frac{1-(\sin \alpha + \cos \alpha)^2}{\sin(\alpha)}\)

Раскроем скобки в числителе:

\(\frac{1 - (\sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha)}{\sin(\alpha)} = \frac{1 - (1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha)}{\sin(\alpha)} = \frac{-2 \sin \alpha \cos \alpha}{\sin(\alpha)} = -2 \cos \alpha\)

Ответ: \(-2 \cos \alpha\)

Замечательно! Ты хорошо упростил выражения. Продолжай тренироваться, и все получится!