Упростить выражение (1-cosa)(1 + cosa) - (sin²a + 3)

Решение:

Воспользуемся формулой разности квадратов: \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \).

Применим её к первой части выражения:

\[ (1-\cos \alpha)(1 + \cos \alpha) = 1^2 - \cos^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha \]

По основному тригонометрическому тождеству, \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \). Отсюда следует, что \( 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha \).

Теперь подставим это в исходное выражение:

\[ \sin^2 \alpha - (\sin^2 \alpha + 3) \]

Раскроем скобки, учитывая знак минус перед ними:

\[ \sin^2 \alpha - \sin^2 \alpha - 3 \]

Слагаемые \( \sin^2 \alpha \) и \( -\sin^2 \alpha \) уничтожаются:

\[ -3 \]

Таким образом, упрощённое выражение равно -3.

Ответ: -3.