Упростить выражение: 1) $\dfrac{\sin^3(-\alpha)+\cos^3(-\alpha)}{1-\sin(-\alpha)\cos(-\alpha)}$;

Question

Вопрос: $Фото задания: Упростить выражение: 1) $\dfrac{\sin^3(-\alpha)+\cos^3(-\alpha)}{1-\sin(-\alpha)\cos(-\alpha)}$;$ Фото задания

Accepted Answer

Используем свойства чётности и нечётности функций: $\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$, $\cos(-\alpha)=\cos\alpha$.

\[\frac{\sin^3(-\alpha)+\cos^3(-\alpha)}{1-\sin(-\alpha)\cos(-\alpha)}=\frac{-\sin^3\alpha+\cos^3\alpha}{1+\sin\alpha\cos\alpha}.\]

Разложим разность кубов:

\[\cos^3\alpha-\sin^3\alpha=(\cos\alpha-\sin\alpha)(\cos^2\alpha+\sin\alpha\cos\alpha+\sin^2\alpha).\]

Так как $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, получаем:

\[\frac{(\cos\alpha-\sin\alpha)(1+\sin\alpha\cos\alpha)}{1+\sin\alpha\cos\alpha}=\cos\alpha-\sin\alpha.\]

Ответ: $\cos\alpha-\sin\alpha$.

Упростить выражение: 1) \(\dfrac{\sin^3(-\alpha)+\cos^3(-\alpha)}{1-\sin(-\alpha)\cos(-\alpha)}\);