Упростить выражение: 1) $\frac{\sin^3(-\alpha)+\cos^3(-\alpha)}{1-\sin(-\alpha)\cos(-\alpha)}$; 2) $\frac{1-(\sin\alpha+\cos(-\alpha))^2}{-\sin(-\alpha)}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Упростить выражение: 1) $\frac{\sin^3(-\alpha)+\cos^3(-\alpha)}{1-\sin(-\alpha)\cos(-\alpha)}$; 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

1) Обозначим $\sin\alpha=s$, $\cos\alpha=c$. Учитывая, что $\sin(-\alpha)=-s$, $\cos(-\alpha)=c$, получаем:

\[\frac{(-s)^3+c^3}{1-(-s)c}=\frac{c^3-s^3}{1+sc}.\]

Разложим разность кубов:

\[\frac{(c-s)(c^2+cs+s^2)}{1+sc}.\]

Так как $s^2+c^2=1$, то $c^2+cs+s^2=1+sc$. Следовательно,

\[\frac{(c-s)(1+sc)}{1+sc}=c-s=\cos\alpha-\sin\alpha.\]

2) Используем чётность косинуса и нечётность синуса:

\[\frac{1-(\sin\alpha+\cos\alpha)^2}{\sin\alpha}.\]

Раскроем квадрат:

\[\frac{1-(\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha)}{\sin\alpha}=\frac{-2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha}=-2\cos\alpha.\]

Ответ: 1) $\cos\alpha-\sin\alpha$; 2) $-2\cos\alpha$.

Упростить выражение: 1) \(\frac{\sin^3(-\alpha)+\cos^3(-\alpha)}{1-\sin(-\alpha)\cos(-\alpha)}\); 2) \(\frac{1-(\sin\alpha+\cos(-\alpha))^2}{-\sin(-\alpha)}\).