Упростить выражение: 1) $\sin\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)+\sin\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)$; 2) $\cos\left(\frac{\pi}{4}-\beta\right)-\cos\left(\frac{\pi}{4}+\beta\right)$; 3) $\sin^2\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)-\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)$; 4) $\cos^2\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)-\cos^2\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Упростить выражение: 1) $\sin\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)+\sin\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)$; 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

Используем формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций.

$\sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$:
$2\sin\frac{\pi}{3}\cos\alpha=\sqrt{3}\cos\alpha.$
$\cos x-\cos y=-2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$:
$\cos\left(\frac{\pi}{4}-\beta\right)-\cos\left(\frac{\pi}{4}+\beta\right)=2\sin\frac{\pi}{4}\sin\beta=\sqrt{2}\sin\beta.$
Применяем формулу $\sin^2x-\sin^2y=\sin(x+y)\sin(x-y)$:
$\sin\frac{\pi}{2}\sin(2\alpha)=\sin 2\alpha.$
Применяем формулу $\cos^2x-\cos^2y=-\sin(x+y)\sin(x-y)$:
$-\sin(2\alpha)\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\sin 2\alpha.$

Ответ: 1) $\sqrt{3}\cos\alpha$; 2) $\sqrt{2}\sin\beta$; 3) $\sin 2\alpha$; 4) $\sin 2\alpha$.