93. Упростить выражение: 1) a^(1/4)-a^(-7/4) / a^(1/4)-a^(3/4); 2) a^(4/3)-a^(2/3) / a^(1/3)-a^(2/3); 3) b^(5/4)+2b^(1/4)+b^(3/4) / b^(3/4)+b^(1/4); 4) a^(4/3)b^(-2)-a^(-2)b^(4/3) / a^(-5/3)b^(-2)-b^(5/3)a^(-2); 5) √a³b⁻¹-√a⁻¹b³ / √ab⁻¹-√a⁻¹b; 6) a^(3/4)b^(-1/4)-a^(-1/4)b^(3/4) / a^(1/4)b^(-1/4)+a^(-1/4)b^(1/4);

1)

\[\frac{a^{\frac{1}{4}}-a^{-\frac{7}{4}}}{a^{\frac{1}{4}}-a^{\frac{3}{4}}}\]

• Вынесем общий множитель в числителе и знаменателе:

\[\frac{a^{-\frac{7}{4}}(a^{\frac{1}{4}+\frac{7}{4}}-1)}{a^{\frac{1}{4}}(1-a^{\frac{3}{4}-\frac{1}{4}})} = \frac{a^{-\frac{7}{4}}(a^2-1)}{a^{\frac{1}{4}}(1-a^{\frac{1}{2}})}\]

• Разложим скобки, чтобы сократить:

\[\frac{a^{-\frac{7}{4}}(a-1)(a+1)}{a^{\frac{1}{4}}(1-\sqrt{a})} = \frac{a^{-\frac{7}{4}}(\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+1)(a+1)}{a^{\frac{1}{4}}(1-\sqrt{a})}\]

• Сократим и упростим:

\[-a^{-\frac{7}{4}-\frac{1}{4}}(\sqrt{a}+1)(a+1) = -a^{-2}(\sqrt{a}+1)(a+1) = -\frac{(\sqrt{a}+1)(a+1)}{a^2}\]

2)

\[\frac{a^{\frac{4}{3}}-a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}-a^{\frac{2}{3}}}\]

• Вынесем общий множитель в числителе и знаменателе:

\[\frac{a^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{2}{3}}-1)}{a^{\frac{1}{3}}(1-a^{\frac{1}{3}})} = \frac{a^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{2}{3}}-1)}{-a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{3}}-1)}\]

• Разложим скобки, чтобы сократить:

\[\frac{a^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{1}{3}}-1)(a^{\frac{1}{3}}+1)}{-a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{3}}-1)}\]

• Сократим и упростим:

\[-a^{\frac{2}{3}-\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{3}}+1) = -a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{3}}+1)\]

3)

\[\frac{b^{\frac{5}{4}}+2b^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{3}{4}}}{b^{\frac{3}{4}}+b^{\frac{1}{4}}}\]

• Вынесем общий множитель в числителе и знаменателе:

\[\frac{b^{\frac{1}{4}}(b+2+b^{\frac{1}{2}})}{b^{\frac{1}{4}}(b^{\frac{1}{2}}+1)} = \frac{b+2+\sqrt{b}}{\sqrt{b}+1}\]

• Преобразуем числитель:

\[\frac{(\sqrt{b})^2+2\sqrt{b}+1}{\sqrt{b}+1} = \frac{(\sqrt{b}+1)^2}{\sqrt{b}+1}\]

• Сократим и упростим:

\[\sqrt{b}+1\]

4)

\[\frac{a^{\frac{4}{3}}b^{-2}-a^{-2}b^{\frac{4}{3}}}{a^{-\frac{5}{3}}b^{-2}-b^{\frac{5}{3}}a^{-2}}\]

• Вынесем общий множитель в числителе и знаменателе:

\[\frac{a^{-2}b^{-2}(a^{\frac{4}{3}+2}-b^{\frac{4}{3}+2})}{a^{-2}b^{-2}(a^{\frac{5}{3}}-b^{\frac{5}{3}})} = \frac{a^{\frac{10}{3}}-b^{\frac{10}{3}}}{a^{\frac{5}{3}}-b^{\frac{5}{3}}}\]

• Разложим числитель, используя формулу разности квадратов:

\[\frac{(a^{\frac{5}{3}}-b^{\frac{5}{3}})(a^{\frac{5}{3}}+b^{\frac{5}{3}})}{a^{\frac{5}{3}}-b^{\frac{5}{3}}}\]

• Сократим и упростим:

\[a^{\frac{5}{3}}+b^{\frac{5}{3}}\]

5)

\[\frac{\sqrt{a^3b^{-1}}-\sqrt{a^{-1}b^3}}{\sqrt{ab^{-1}}-\sqrt{a^{-1}b}}\]

• Преобразуем числитель и знаменатель, чтобы вынести общий множитель:

\[\frac{\sqrt{a^2a\frac{1}{b}}-\sqrt{b^2b\frac{1}{a}}}{\sqrt{a\frac{1}{b}}-\sqrt{b\frac{1}{a}}} = \frac{a\sqrt{\frac{a}{b}}-b\sqrt{\frac{b}{a}}}{\sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}}}\]

• Вынесем общий множитель:

\[\frac{\sqrt{\frac{1}{b}}a\sqrt{a}-\sqrt{\frac{1}{a}}b\sqrt{b}}{\sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}}} = \frac{\sqrt{\frac{1}{ab}}(a\sqrt{a}-b\sqrt{b})}{\sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}}}\]

• Разложим скобки:

\[\frac{\sqrt{\frac{1}{ab}}(\sqrt{a}-\sqrt{b})(a+\sqrt{ab}+b)}{\frac{a-b}{\sqrt{ab}}} = \frac{\sqrt{\frac{1}{ab}}(\sqrt{a}-\sqrt{b})(a+\sqrt{ab}+b)}{\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{ab}}}\]

• Сократим и упростим:

\[\frac{\sqrt{\frac{1}{ab}}(a+\sqrt{ab}+b)}{\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{ab}}(a+\sqrt{ab}+b)}{\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}} = \frac{a+\sqrt{ab}+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\]

6)

\[\frac{a^{\frac{3}{4}}b^{-\frac{1}{4}}-a^{-\frac{1}{4}}b^{\frac{3}{4}}}{a^{\frac{1}{4}}b^{-\frac{1}{4}}+a^{-\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4}}}\]

• Вынесем общий множитель в числителе:

\[\frac{a^{-\frac{1}{4}}b^{-\frac{1}{4}}(a-b)}{a^{\frac{1}{4}}b^{-\frac{1}{4}}+a^{-\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4}}} = \frac{a^{-\frac{1}{4}}b^{-\frac{1}{4}}(a-b)}{a^{-\frac{1}{4}}b^{-\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}})}\]

• Сократим и упростим:

\[\frac{a-b}{a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}} = \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\]

• Сократим:

\[\sqrt{a}-\sqrt{b}\]