2. Упростить выражение: а) 8√3 – 5√12+4√75; 5) √5. (√20+ √80); B) (2√7+3)²; r) (6√3-√5)(6√3+3√5) 3. Внесите множитель под знак корня: а) 15√2; 6) −8√3. 4. Сравните числа: а) 6√3 и 3√8; 6) 4, 15 и 1 √750 5 5. Освободитесь от знака корня в знаменателе дроби: 8 4 a) 3√26) √13-3 2 2 6. Найти значение выражения: 3√5+1 3√5-1

Решение задания 2

a) Упростим выражение 8√3 – 5√12 + 4√75. Сначала упростим корни √12 и √75:

√12 = √(4 * 3) = √4 * √3 = 2√3

√75 = √(25 * 3) = √25 * √3 = 5√3

Теперь подставим упрощенные корни в исходное выражение:

8√3 – 5(2√3) + 4(5√3) = 8√3 – 10√3 + 20√3 = (8 – 10 + 20)√3 = 18√3

Ответ: 18√3

---

б) Упростим выражение √5 ⋅ (√20 + √80). Сначала упростим корни √20 и √80:

√20 = √(4 * 5) = √4 * √5 = 2√5

√80 = √(16 * 5) = √16 * √5 = 4√5

Теперь подставим упрощенные корни в исходное выражение:

√5 ⋅ (2√5 + 4√5) = √5 ⋅ (6√5) = 6 ⋅ (√5 * √5) = 6 ⋅ 5 = 30

Ответ: 30

---

в) Упростим выражение (2√7 + 3)². Воспользуемся формулой (a + b)² = a² + 2ab + b²:

(2√7 + 3)² = (2√7)² + 2(2√7)(3) + 3² = 4 * 7 + 12√7 + 9 = 28 + 12√7 + 9 = 37 + 12√7

Ответ: 37 + 12√7

---

г) Упростим выражение (6√3 - √5)(6√3 + 3√5). Воспользуемся формулой разности квадратов (a - b)(a + c) = a² + ac - ba - bc:

(6√3 - √5)(6√3 + 3√5) = (6√3)² + (6√3)(3√5) - (√5)(6√3) - (√5)(3√5) = 36 * 3 + 18√15 - 6√15 - 3 * 5 = 108 + 12√15 - 15 = 93 + 12√15

Ответ: 93 + 12√15

Решение задания 3

a) Внесем множитель 15 под знак корня в выражении 15√2:

15√2 = √(15² * 2) = √(225 * 2) = √450

Ответ: √450

---

б) Внесем множитель -8 под знак корня в выражении -8√3:

-8√3 = -√(8² * 3) = -√(64 * 3) = -√192

Ответ: -√192

Решение задания 4

a) Сравним числа 6√3 и 3√8. Возведем каждое число в квадрат:

(6√3)² = 36 * 3 = 108

(3√8)² = 9 * 8 = 72

Поскольку 108 > 72, то 6√3 > 3√8

Ответ: 6√3 > 3√8

---

б) Сравним числа 4 \(\sqrt{\frac{15}{8}}\) и \(\frac{1}{5}\sqrt{750}\). Упростим каждое число:

\(4 \sqrt{\frac{15}{8}} = 4 \sqrt{\frac{15}{8}} = 4 \sqrt{\frac{30}{16}} = \frac{4}{4} \sqrt{30} = \sqrt{30}\)

\(\frac{1}{5}\sqrt{750} = \frac{1}{5}\sqrt{25 \cdot 30} = \frac{1}{5} \cdot 5 \sqrt{30} = \sqrt{30}\)

Так как оба числа равны \(\sqrt{30}\), то \(4 \sqrt{\frac{15}{8}} = \frac{1}{5}\sqrt{750}\)

Ответ: числа равны

Решение задания 5

a) Освободимся от знака корня в знаменателе дроби \(\frac{8}{3\sqrt{2}}\)

\(\frac{8}{3\sqrt{2}} = \frac{8 \cdot \sqrt{2}}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{3 \cdot 2} = \frac{8\sqrt{2}}{6} = \frac{4\sqrt{2}}{3}\)

Ответ: \(\frac{4\sqrt{2}}{3}\)

---

б) Освободимся от знака корня в знаменателе дроби \(\frac{4}{\sqrt{13}-3}\).

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \(\sqrt{13}+3\):

\(\frac{4}{\sqrt{13}-3} = \frac{4(\sqrt{13}+3)}{(\sqrt{13}-3)(\sqrt{13}+3)} = \frac{4(\sqrt{13}+3)}{13-9} = \frac{4(\sqrt{13}+3)}{4} = \sqrt{13}+3\)

Ответ: \(\sqrt{13}+3\)

Решение задания 6

Упростим выражение \(\frac{2}{3\sqrt{5}+1} - \frac{2}{3\sqrt{5}-1}\).

Сначала приведем дроби к общему знаменателю:

\(\frac{2(3\sqrt{5}-1) - 2(3\sqrt{5}+1)}{(3\sqrt{5}+1)(3\sqrt{5}-1)} = \frac{6\sqrt{5}-2 - 6\sqrt{5}-2}{(9 \cdot 5 - 1)} = \frac{-4}{44} = -\frac{1}{11}\)

Ответ: \(-\frac{1}{11}\)

Молодец! Ты отлично справился с упрощением выражений, внесением множителей под корень и освобождением от иррациональности в знаменателе. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!