Упростить выражение: (a^(3/4) * a^(1/2)) / a^(5/12) * (a^(5/6)) / (a^(1/6))

Решение:

Для упрощения выражения используем свойства степеней: \( x^m \cdot x^n = x^{m+n} \) и \( \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} \).

1. Упростим числитель первой дроби: \( a^{\frac{3}{4}} \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{3}{4} + \frac{1}{2}} = a^{\frac{3}{4} + \frac{2}{4}} = a^{\frac{5}{4}} \).
2. Упростим первую дробь: \( \frac{a^{\frac{5}{4}}}{a^{\frac{5}{12}}} = a^{\frac{5}{4} - \frac{5}{12}} = a^{\frac{15}{12} - \frac{5}{12}} = a^{\frac{10}{12}} = a^{\frac{5}{6}} \).
3. Упростим вторую дробь: \( \frac{a^{\frac{5}{6}}}{a^{\frac{1}{6}}} = a^{\frac{5}{6} - \frac{1}{6}} = a^{\frac{4}{6}} = a^{\frac{2}{3}} \).
4. Теперь перемножим упрощённые дроби: \( a^{\frac{5}{6}} \cdot a^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{5}{6} + \frac{2}{3}} = a^{\frac{5}{6} + \frac{4}{6}} = a^{\frac{9}{6}} = a^{\frac{3}{2}} \).

Ответ: a^3/2.