Упростить выражение: \frac{2^6 \cdot 8^2}{32^3}

Шаг 1: Представим все числа в виде степеней двойки: $$8 = 2^3$$, $$32 = 2^5$$.

Шаг 2: Подставим в выражение: $$\frac{2^6 \cdot (2^3)^2}{(2^5)^3}$$.

Шаг 3: Применим свойства степеней $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$ и $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$: $$\frac{2^6 \cdot 2^{3 \cdot 2}}{2^{5 \cdot 3}} = \frac{2^6 \cdot 2^6}{2^{15}} = \frac{2^{6+6}}{2^{15}} = \frac{2^{12}}{2^{15}}$$.

Шаг 4: Применим свойство деления степеней $$a^m / a^n = a^{m-n}$$: $$2^{12-15} = 2^{-3}$$.

Шаг 5: Представим отрицательную степень в виде дроби: $$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$$.