Упростить выражение $$\frac{27^x + 9^x - 12 \cdot 3^x}{3^x(3^x - 3)}$$

Решение:

Заметим, что \( 27^x = (3^3)^x = (3^x)^3 \) и \( 9^x = (3^2)^x = (3^x)^2 \).

Пусть \( y = 3^x \). Тогда выражение принимает вид:

\[ \frac{y^3 + y^2 - 12y}{y(y - 3)} \]

Вынесем \( y \) из числителя:

\[ \frac{y(y^2 + y - 12)}{y(y - 3)} \]

Сократим \( y \) (при условии \( y \neq 0 \), что всегда верно для \( 3^x \)):

\[ \frac{y^2 + y - 12}{y - 3} \]

Разложим числитель на множители. Найдем корни уравнения \( y^2 + y - 12 = 0 \). Дискриминант \( D = 1^2 - 4(1)(-12) = 1 + 48 = 49 \). Корни \( y_1 = \frac{-1 + 7}{2} = 3 \) и \( y_2 = \frac{-1 - 7}{2} = -4 \).

Значит, \( y^2 + y - 12 = (y - 3)(y + 4) \).

Подставим обратно в дробь:

\[ \frac{(y - 3)(y + 4)}{y - 3} \]

Сократим \( (y - 3) \) (при условии \( y \neq 3 \), то есть \( 3^x \neq 3 \), \( x \neq 1 \)):

\[ y + 4 \]

Подставим \( y = 3^x \) обратно:

\[ 3^x + 4 \]

Таким образом, при \( x \neq 1 \) исходное выражение упрощается до \( 3^x + 4 \).

Ответ: \( 3^x + 4 \).