Упростить выражение:$$\frac{a^2b+ab^2}{a^2+b^2} \cdot \left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right)$$

Решение:

Сначала упростим первое выражение:

\( \frac{a^2b+ab^2}{a^2+b^2} = \frac{ab(a+b)}{a^2+b^2} \)

Теперь упростим второе выражение в скобках:

\( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2+b^2}{ab} \)

Теперь перемножим упрощённые выражения:

\( \frac{ab(a+b)}{a^2+b^2} \cdot \frac{a^2+b^2}{ab} \)

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:

\( \frac{\cancel{ab}(a+b)}{\cancel{a^2+b^2}} \cdot \frac{\cancel{a^2+b^2}}{\cancel{ab}} = a+b \)

Ответ: $$a+b$$