Упростить выражение: $$\frac{a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} - 1}$$

Решение:

Для упрощения выражения обозначим \( x = a^{\frac{1}{3}} \). Тогда \( x^2 = \left(a^{\frac{1}{3}}\right)^2 = a^{\frac{2}{3}} \).

Подставим \( x \) в исходное выражение:

\[ \frac{a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} - 1} = \frac{x^2 - x}{x - 1} \]

Теперь вынесем \( x \) за скобки в числителе:

\[ \frac{x(x - 1)}{x - 1} \]

Сократим \( (x-1) \) при условии \( x \neq 1 \), что соответствует \( a^{\frac{1}{3}} \neq 1 \), то есть \( a \neq 1 \).

\[ x \]

Подставим обратно \( a^{\frac{1}{3}} \) вместо \( x \):

\[ a^{\frac{1}{3}} \]

Таким образом, упрощённое выражение равно \( a^{\frac{1}{3}} \).

Ответ: a^1/3