Упростить выражение $\left(\frac{a-2}{a^2+2a}-\frac{a-6}{a^2-4}\right)\cdot(2-a)$ при $a=\frac{2}{9}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Упростить выражение $\left(\frac{a-2}{a^2+2a}-\frac{a-6}{a^2-4}\right)\cdot(2-a)$ при $a=\frac{2}{9}$.$ Фото задания

Accepted Answer

Область допустимых значений: знаменатели не должны быть равны нулю, поэтому $a\ne 0$, $a\ne -2$, $a\ne 2$. Значение $a=\frac{2}{9}$ допустимо.

Разложим знаменатели на множители: $a^2+2a=a(a+2)$, $a^2-4=(a-2)(a+2)$.
Приведём дроби к общему знаменателю:
\[\frac{a-2}{a(a+2)}-\frac{a-6}{(a-2)(a+2)}=\frac{(a-2)^2-a(a-6)}{a(a+2)(a-2)}.\]
Упростим числитель и сократим общий множитель $a+2$:
\[(a-2)^2-a(a-6)=a^2-4a+4-a^2+6a=2(a+2),\]
\[\frac{2(a+2)}{a(a+2)(a-2)}=\frac{2}{a(a-2)}.\]
Умножим на $2-a=-(a-2)$:
\[\frac{2}{a(a-2)}\cdot(2-a)=-\frac{2}{a}.\]
Подставим $a=\frac{2}{9}$:
\[-\frac{2}{2/9}=-9.\]

Ответ: $-9$.

Упростить выражение \(\left(\frac{a-2}{a^2+2a}-\frac{a-6}{a^2-4}\right)\cdot(2-a)\) при \(a=\frac{2}{9}\).