Упростить выражение a^{\(\frac{2}{3}\)} - a^{\(\frac{1}{3}\)} a^{\(\frac{1}{3}\)} - 1 Выберите один ответ: a. a^{\(\frac{1}{3}\)} + 1 b. \(\frac{1}{a^{\frac{1}{3}} - 1}\) c. \(\frac{1}{a^{\frac{1}{3}}}\) d. a^{\(\frac{2}{3}\)}

Решение:

Для упрощения данного выражения, заметим, что числитель является разностью кубов, если сделать замену переменной. Пусть $$x = a^{\frac{1}{3}}$$. Тогда $$a^{\frac{2}{3}} = (a^{\frac{1}{3}})^2 = x^2$$. Выражение примет вид:

\[ \frac{x^2 - x}{x - 1} \]

Вынесем $$x$$ в числителе:

\[ \frac{x(x - 1)}{x - 1} \]

Сократим дробь, убрав общий множитель $$(x-1)$$:

\[ x \]

Теперь подставим обратно $$x = a^{\frac{1}{3}}$$:

\[ a^{\frac{1}{3}} \]

Однако, в предложенных вариантах ответа такого нет. Вернемся к исходному выражению и попробуем применить другую формулу. Можно представить числитель как разность квадратов, если $$a^{\frac{1}{3}}$$ - это какая-то новая переменная. Давайте попробуем работать с показателями степеней напрямую.

Перепишем выражение:

\[ \frac{a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} - 1} \]

Вынесем общий множитель $$a^{\frac{1}{3}}$$ из числителя:

\[ \frac{a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{3}} - 1)}{a^{\frac{1}{3}} - 1} \]

Теперь мы видим, что $$(a^{\frac{1}{3}} - 1)$$ является общим множителем в числителе и знаменателе. При условии, что $$a^{\frac{1}{3}} - 1 \neq 0$$ (т.е. $$a^{\frac{1}{3}} \neq 1$$, или $$a \neq 1$$), мы можем сократить эту дробь.

После сокращения получаем:

\[ a^{\frac{1}{3}} \]

Снова получили $$a^{\frac{1}{3}}$$, что не соответствует ни одному из вариантов. Проверим варианты ответа.

Вариант а: $$a^{\frac{1}{3}} + 1$$. Если бы это было так, то исходное выражение должно было бы упрощаться до этого. Проверим, умножив $$(a^{\frac{1}{3}} + 1)$$ на знаменатель $$(a^{\frac{1}{3}} - 1)$$:

\[ (a^{\frac{1}{3}} + 1)(a^{\frac{1}{3}} - 1) = (a^{\frac{1}{3}})^2 - 1^2 = a^{\frac{2}{3}} - 1 \]

Это не равно числителю $$a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}$$.

Вариант b: $$\frac{1}{a^{\frac{1}{3}} - 1}$$. Это очевидно не подходит.

Вариант c: $$\frac{1}{a^{\frac{1}{3}}}$$. Это также не подходит.

Вариант d: $$a^{\frac{2}{3}}$$. Это также не подходит.

Проверим еще раз наше упрощение. Мы уверены, что $$a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{3}} - 1)$$.

Возможно, в условии задачи или в вариантах ответа есть опечатка.

Давайте внимательно посмотрим на числитель: $$a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}$$.

Если бы числитель был $$a^{\frac{2}{3}} - 1$$, тогда:

\[ \frac{a^{\frac{2}{3}} - 1}{a^{\frac{1}{3}} - 1} \]

Это формула разности квадратов: $$X^2 - Y^2 = (X-Y)(X+Y)$$. Здесь $$X = a^{\frac{1}{3}}$$, $$Y = 1$$. Тогда $$X^2 = (a^{\frac{1}{3}})^2 = a^{\frac{2}{3}}$$.

Значит, $$a^{\frac{2}{3}} - 1 = (a^{\frac{1}{3}} - 1)(a^{\frac{1}{3}} + 1)$$.

Тогда выражение стало бы:

\[ \frac{(a^{\frac{1}{3}} - 1)(a^{\frac{1}{3}} + 1)}{a^{\frac{1}{3}} - 1} = a^{\frac{1}{3}} + 1 \]

Этот результат совпадает с вариантом а. По всей видимости, в числителе исходного выражения должна быть $$a^{\frac{2}{3}} - 1$$, а не $$a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}$$.

Исходя из предложенных вариантов, наиболее вероятным является тот, который получается при исправленной формуле числителя.

Вывод: При условии, что в числителе должно быть $$a^{\frac{2}{3}} - 1$$, упрощение дает $$a^{\frac{1}{3}} + 1$$. Если же считать исходное условие точным, то ответ $$a^{\frac{1}{3}}$$, которого нет среди вариантов. Предполагая опечатку в условии, выбираем вариант а.

Ответ: a. $$a^{\frac{1}{3}} + 1$$