Упростить выражения: а) \(\sqrt[6]{3\cdot\sqrt[7]{3^5}}:\sqrt[7]{9}\); б) \(\sqrt[6]{10+\sqrt{36}}\cdot\sqrt[6]{10-\sqrt{36}}\); в) \(\sqrt[3]{\sqrt{58}-\sqrt{31}}\cdot\sqrt[3]{\sqrt{58}+\sqrt{31}}\); г) \(6^{(\sqrt2-1)^2}:(\frac16)^{2\sqrt2}\); д) \((4^{\sqrt3})^{1/\sqrt3}\); е) \(\sqrt[3]{9\cdot375}\); ж) \((y^2\cdot\sqrt y)^{1/5}\cdot(y^3\cdot\sqrt y)^{1/7}\), при \(y=2\); з) \(\sqrt[6]{64}-\sqrt[3]{\sqrt{729}}+\sqrt{\sqrt{625}}\).

1. а) Представим корни как степени числа 3: \(\sqrt[6]{3\cdot\sqrt[7]{3^5}}:\sqrt[7]{9}=3^{(1+5/7)/6}:3^{2/7}=3^{2/7-2/7}=1\).

2. б) Перемножим подкоренные выражения с одинаковыми показателями корня: \(\sqrt[6]{(10+6)(10-6)}=\sqrt[6]{64}=2\).

3. в) Применим формулу разности квадратов: \(\sqrt[3]{(\sqrt{58}-\sqrt{31})(\sqrt{58}+\sqrt{31})}=\sqrt[3]{58-31}=3\).

4. г) \((\sqrt2-1)^2=3-2\sqrt2\), а \((1/6)^{2\sqrt2}=6^{-2\sqrt2}\). Поэтому \(6^{3-2\sqrt2}:6^{-2\sqrt2}=6^3=216\).

5. д) \((4^{\sqrt3})^{1/\sqrt3}=4^{\sqrt3/\sqrt3}=4\).

6. е) \(\sqrt[3]{9\cdot375}=\sqrt[3]{3375}=15\), поскольку \(15^3=3375\).

7. ж) При \(y=2\): \((y^2\sqrt y)^{1/5}=y^{(2+1/2)/5}=y^{1/2}\), а \((y^3\sqrt y)^{1/7}=y^{(3+1/2)/7}=y^{1/2}\). Их произведение равно \(y=2\).

8. з) \(\sqrt[6]{64}-\sqrt[3]{\sqrt{729}}+\sqrt{\sqrt{625}}=2-3+5=4\).

Ответ: а) 1; б) 2; в) 3; г) 216; д) 4; е) 15; ж) 2; з) 4.