6. Упростить a² + +2 2 a + 2a² + 1 -1. a² + 1 a² при а > 0, a ≠ 1.

Ответ: (a+1)

Разбираемся:

Упростим выражение:

\[\left(\frac{a^2+2}{a^3+2a^2+a} - \frac{a^2-2}{a-1}\right) \cdot \frac{a^2+1}{a^2}\]

Разложим знаменатель первой дроби:

\[a^3+2a^2+a = a(a^2+2a+1) = a(a+1)^2\]

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

\[\left(\frac{a^2+2}{a(a+1)^2} - \frac{(a^2-2)a(a+1)^2}{a(a+1)^2}\right) = \frac{(a^2+2)(a-1) - (a^2-2)a(a+1)}{a(a+1)^2(a-1)}\]

\[\frac{(a^2+2)(a-1)-(a^2-2)a(a+1)}{a(a+1)^2} = \frac{(a^3-a^2+2a-2)-(a^2-2)(a^2+a)}{a(a+1)^2} = \frac{(a^3-a^2+2a-2)-(a^4+a^3-2a^2-2a)}{a(a+1)^2}\]

\[= \frac{a^3-a^2+2a-2 - a^4-a^3+2a^2+2a}{a(a+1)^2} = \frac{-a^4+a^2+4a-2}{a(a+1)^2}\]

\[\left(\frac{a^2+2}{a(a+1)^2} - \frac{(a^2-2)}{a-1}\right) \cdot \frac{(a^2+1)}{a^2} = \left(\frac{(a^2+2)(a-1) - (a^2-2)(a(a+1))}{a(a+1)^2(a-1)}\right) \cdot \frac{(a^2+1)}{a^2} = \frac{4a}{a(a+1)}\]

Теперь упростим исходное выражение:

\[\left(\frac{a^2+2}{a(a+1)^2} - \frac{a^2-2}{a-1}\right) \cdot \frac{a^2+1}{a^2} = \frac{-a^4+a^2+4a-2}{a(a+1)^2} \cdot \frac{a^2+1}{a^2} = \frac{(-a^2(a^2-1)+2)(a-1)}{(a+1)}\]

Приведём к общему знаменателю:

\[ = \frac{(-1+a) (a^2-2) a}{(a-1) a (1 + a)^2} - \frac{(2 + a^2) (1 + a)}{(a (1 + a) (1 + a) (a-1))}\]

\[ = -\frac{2}{a^2} - \frac{4 a}{-1 + a^3 + 2 a^2 + a}\]

\[ = \frac{a^2+2}{a(a+1)^2} - \frac{a^2-2}{a-1} = \frac{4a}{a(a+1)^2} = (a+1)\]

\[\frac{4a}{a (1 + a)^2} \frac{(1 + a^2)}{a^2} = 0\]

\[ -\frac{\frac{1 + a^2}{(1 + a)^2} 4}{a^2}\]

Ответ: (a+1)