Упростите 10

Решение:

Для упрощения выражения \( \left( \frac{5m^{-4}}{6n^{-1}} \right)^{-3} \times 125m^{-10}n^{2} \), сначала раскроем скобки, применив свойство \( (a/b)^n = a^n/b^n \) и \( (a^m)^n = a^{mn} \):

\( \left( \frac{5m^{-4}}{6n^{-1}} \right)^{-3} = \frac{(5m^{-4})^{-3}}{(6n^{-1})^{-3}} = \frac{5^{-3}m^{(-4)(-3)}}{6^{-3}n^{(-1)(-3)}} = \frac{5^{-3}m^{12}}{6^{-3}n^{3}} \)

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

\( \frac{5^{-3}m^{12}}{6^{-3}n^{3}} \times 125m^{-10}n^{2} \)

Перепишем отрицательные степени с положительными:

\( \frac{m^{12}}{5^{3}n^{-3}} \times \frac{1}{6^{3}} \times 125m^{-10}n^{2} = \frac{m^{12}}{125n^{-3}} \times \frac{1}{216} \times 125m^{-10}n^{2} \)

Упростим, умножив числители и знаменатели:

\( \frac{m^{12} \times 125 \times m^{-10} \times n^{2}}{125 \times n^{-3} \times 216} \)

Сократим 125:

\( \frac{m^{12} \times m^{-10} \times n^{2}}{n^{-3} \times 216} \)

Сложим степени с одинаковым основанием:

\( \frac{m^{12-10} \times n^{2}}{n^{-3} \times 216} = \frac{m^{2} \times n^{2}}{n^{-3} \times 216} \)

Перенесём \( n^{-3} \) в числитель, изменив знак степени:

\( \frac{m^{2} \times n^{2} \times n^{3}}{216} \)

Сложим степени \( n \):

\( \frac{m^{2} \times n^{2+3}}{216} = \frac{m^{2} \times n^{5}}{216} \)

Таким образом, упрощённое выражение:

\( \frac{m^{2}n^{5}}{216} \)

Примечание: В исходном выражении степень у \( m \) в последнем множителе указана как \( -10 \), а у \( n \) как \( 2 \). Если последняя степень у \( m \) была \( -10 \) и у \( n \) была \( 2 \), то решение выглядит так.

Если в исходном выражении было \( 125m^{-10}n^{2} \)

1. \( \left( \frac{5m^{-4}}{6n^{-1}} \right)^{-3} = \frac{5^{-3}m^{12}}{6^{-3}n^{3}} \)
2. \( \frac{5^{-3}m^{12}}{6^{-3}n^{3}} \times 125m^{-10}n^{2} = \frac{m^{12}}{5^{3}n^{-3}} \times \frac{1}{6^{3}} \times 125m^{-10}n^{2} = \frac{m^{12}}{125n^{-3}} \times \frac{1}{216} \times 125m^{-10}n^{2} \)
3. \( \frac{125 m^{12} n^{2}}{125 n^{-3} 216} = \frac{m^{12} n^{2}}{n^{-3} 216} = \frac{m^{12} n^{2} n^{3}}{216} = \frac{m^{12} n^{5}}{216} \)
4. \( \frac{m^{12} m^{-10} n^{5}}{216} = \frac{m^{2} n^{5}}{216} \)

Ответ: \( \frac{m^{2}n^{5}}{216} \).