Упростите числовое выражение √ 27+10√2+√ 27-10√2.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Рассмотрим первое подкоренное выражение: \( 27 + 10\sqrt{2} \). Мы хотим представить его в виде \( (a + b\sqrt{2})^2 \) или \( (a\sqrt{2} + b)^2 \). Разложим \( 10\sqrt{2} \) как \( 2 · 5 · \sqrt{2} \). Тогда \( a = 5 \) и \( b = \sqrt{2} \) не подходят, так как \( a^2 + (b\sqrt{2})^2 \) не будет равно 27. Попробуем \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \). Пусть \( a = 5 \) и \( b = \sqrt{2} \). Тогда \( a^2 = 25 \), \( b^2 = 2 \), \( 2ab = 2 · 5 · \sqrt{2} = 10\sqrt{2} \). Суммируем: \( 25 + 2 + 10\sqrt{2} = 27 + 10\sqrt{2} \). Следовательно, \( \sqrt{27 + 10\sqrt{2}} = \sqrt{(5 + \sqrt{2})^2} = 5 + \sqrt{2} \).
2. Рассмотрим второе подкоренное выражение: \( 27 - 10\sqrt{2} \). Аналогично, мы ищем \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \). Используя те же значения \( a = 5 \) и \( b = \sqrt{2} \), получим \( 27 - 10\sqrt{2} \). Следовательно, \( \sqrt{27 - 10\sqrt{2}} = \sqrt{(5 - \sqrt{2})^2} = |5 - \sqrt{2}| \). Так как \( 5 > \sqrt{2} \), то \( |5 - \sqrt{2}| = 5 - \sqrt{2} \).
3. Теперь сложим полученные результаты: \( (5 + \sqrt{2}) + (5 - \sqrt{2}) \).
4. \( 5 + \sqrt{2} + 5 - \sqrt{2} = 5 + 5 + \sqrt{2} - \sqrt{2} = 10 \).

Ответ: 10