Упростите числовое выражение $$\sqrt{27 + 10\sqrt{2}} + \sqrt{27 - 10\sqrt{2}}$$.

Решение:

Чтобы упростить данное выражение, можно попробовать представить подкоренные выражения в виде квадрата суммы или разности. Рассмотрим подкоренное выражение \( 27 + 10\sqrt{2} \).

Нам нужно найти такие числа \( a \) и \( b \), чтобы \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) или \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \).

Перепишем \( 10\sqrt{2} \) как \( 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{2} \). Тогда \( a=5 \) и \( b=\sqrt{2} \) (или наоборот).

Проверим, будет ли \( a^2 + b^2 = 27 \):

\( 5^2 + (\sqrt{2})^2 = 25 + 2 = 27 \).

Значит, \( 27 + 10\sqrt{2} = (5 + \sqrt{2})^2 \).

Аналогично, для \( 27 - 10\sqrt{2} \):

\( 27 - 10\sqrt{2} = (5 - \sqrt{2})^2 \).

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

\[ \sqrt{27 + 10\sqrt{2}} + \sqrt{27 - 10\sqrt{2}} = \sqrt{(5 + \sqrt{2})^2} + \sqrt{(5 - \sqrt{2})^2} \]

Поскольку \( 5 + \sqrt{2} > 0 \) и \( 5 - \sqrt{2} > 0 \) (так как \( 5 = \sqrt{25} \) и \( \sqrt{25} > \sqrt{2} \)), то:

\[ \sqrt{(5 + \sqrt{2})^2} + \sqrt{(5 - \sqrt{2})^2} = (5 + \sqrt{2}) + (5 - \sqrt{2}) \]

Сложим полученные выражения:

\[ (5 + \sqrt{2}) + (5 - \sqrt{2}) = 5 + \sqrt{2} + 5 - \sqrt{2} = 10 \]

Ответ: 10.