Упростите дроби: 1) \(\frac{2x+3}{2-3x}\); 2) \(\frac{x^5-x^3+1}{x-1}\); 3) \(\frac{5x^3}{(4-x)^2}\); 10) \(\frac{x^5}{3x+2}\); 12) \(\frac{\frac12x^4-1}{2x+1}\); 14) \(\frac{x^3-x}{x^2+1}\).

Знаменатель и числитель не имеют общего множителя, поэтому дробь не сокращается. Ограничение: \(2-3x\ne0\), откуда \(x\ne\frac23\).

Ответ: \(\frac{2x+3}{2-3x}\), \(x\ne\frac23\).

Делим числитель на \(x-1\):

\(x^5-x^3+1=(x-1)(x^4+x^3-1)+0\) — проверка даёт неверное равенство; выполним деление по схеме Горнера для коэффициентов \(1,0,-1,0,0,1\): получаем частное \(x^4+x^3-1\) и остаток \(0\)? Подстановка \(x=1\) в исходный числитель даёт \(1\), поэтому остаток равен \(1\). Частное: \(x^4+x^3-1\), поскольку \((x-1)(x^4+x^3-1)=x^5-2x^3+x^2+x-1\), и это не числитель. Следовательно, деление не даёт сокращения, а исходная дробь оставляется без изменений.

Знаменатель обращается в ноль при \(x=1\).

Ответ: \(\frac{x^5-x^3+1}{x-1}\), \(x\ne1\).

Используем \((4-x)^2=(x-4)^2\). Общих множителей числителя и знаменателя нет.

Ответ: \(\frac{5x^3}{(4-x)^2}\), \(x\ne4\).

Общих множителей у числителя и знаменателя нет. Из \(3x+2\ne0\) следует \(x\ne-\frac23\).

Ответ: \(\frac{x^5}{3x+2}\), \(x\ne-\frac23\).

Преобразуем числитель: \(\frac12x^4-1=\frac12(x^4-2)\). Общего множителя со знаменателем \(2x+1\) нет. Ограничение: \(x\ne-\frac12\).

Ответ: \(\frac{x^4-2}{2(2x+1)}\), \(x\ne-\frac12\).

Разложим числитель на множители: \(x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)\). Знаменатель \(x^2+1\) над действительными числами не имеет общих множителей с числителем.

Ответ: \(\frac{x(x-1)(x+1)}{x^2+1}\), для всех действительных \(x\).