Упростите: $$\frac{3a^4b^3}{10c^5} \times \frac{4b^4c^2}{27a^7} : \frac{5b^7}{9a^3c}$$

Решение:

Для упрощения выражения выполним умножение и деление дробей. Сначала преобразуем деление в умножение, поменяв местами числитель и знаменатель второй дроби:

\[ \frac{3a^4b^3}{10c^5} \times \frac{4b^4c^2}{27a^7} : \frac{5b^7}{9a^3c} = \frac{3a^4b^3}{10c^5} \times \frac{4b^4c^2}{27a^7} \times \frac{9a^3c}{5b^7} \]

Теперь перемножим числители и знаменатели:

\[ = \frac{(3a^4b^3) \cdot (4b^4c^2) \cdot (9a^3c)}{(10c^5) \cdot (27a^7) \cdot (5b^7)} \]

Сгруппируем числовые коэффициенты и переменные:

\[ = \frac{(3 \cdot 4 \cdot 9) \cdot (a^4 \cdot a^3) \cdot (b^3 \cdot b^4) \cdot c^2 \cdot c}{(10 \cdot 27 \cdot 5) \cdot a^7 \cdot b^7 \cdot c^5} \]

Вычислим произведение коэффициентов в числителе и знаменателе:

\[ 3 \cdot 4 \cdot 9 = 108 \]

\[ 10 \cdot 27 \cdot 5 = 1350 \]

Теперь упростим степени переменных, используя правило \( x^m \cdot x^n = x^{m+n} \) и \( \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} \):

\[ a^4 \cdot a^3 = a^{4+3} = a^7 \]

\[ b^3 \cdot b^4 = b^{3+4} = b^7 \]

\[ c^2 \cdot c = c^{2+1} = c^3 \]

Теперь подставим это обратно в дробь:

\[ = \frac{108 \cdot a^7 \cdot b^7 \cdot c^3}{1350 \cdot a^7 \cdot b^7 \cdot c^5} \]

Сократим одинаковые переменные и степени:

\[ = \frac{108}{1350} \cdot \frac{a^7}{a^7} \cdot \frac{b^7}{b^7} \cdot \frac{c^3}{c^5} \]

\[ = \frac{108}{1350} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{c^{5-3}} \]

\[ = \frac{108}{1350} \cdot \frac{1}{c^2} \]

Упростим числовую дробь \( \frac{108}{1350} \). Оба числа делятся на 54:

\[ 108 \div 54 = 2 \]

\[ 1350 \div 54 = 25 \]

Таким образом, дробь упрощается до \( \frac{2}{25} \).

\[ = \frac{2}{25c^2} \]

Ответ: $$\frac{2}{25c^2}$$.