Упростите: \(\frac{3a^4b^3}{10c^5} \times \frac{4b^4c^2}{27a^7} : \frac{5b^7}{9a^3c^3}\)

Решение:

Для упрощения выражения выполним умножение и деление дробей.

1. Умножение дробей:
   \(\frac{3a^4b^3}{10c^5} \times \frac{4b^4c^2}{27a^7} = \frac{3 \cdot 4 \cdot a^4 \cdot b^3 \cdot c^2}{10 \cdot 27 \cdot c^5 \cdot a^7 \cdot b^4}\)
   Сократим коэффициенты: \( \frac{12}{270} = \frac{2}{45} \).
   Сократим степени переменных: \( \frac{a^4}{a^7} = \frac{1}{a^3} \), \( \frac{b^3}{b^4} = \frac{1}{b} \), \( \frac{c^2}{c^5} = \frac{1}{c^3} \).
   Получим: \( \frac{2}{45a^3bc^3} \)
2. Деление дробей:
   Теперь разделим полученную дробь на \( \frac{5b^7}{9a^3c^3} \). Деление заменяется умножением на обратную дробь:
   \( \frac{2}{45a^3bc^3} : \frac{5b^7}{9a^3c^3} = \frac{2}{45a^3bc^3} \times \frac{9a^3c^3}{5b^7} \)
   Умножим числители и знаменатели:
   \( \frac{2 \cdot 9 \cdot a^3 \cdot c^3}{45 \cdot 5 \cdot a^3 \cdot b \cdot c^3 \cdot b^7} \)
   Сократим коэффициенты: \( \frac{18}{225} = \frac{2}{25} \).
   Сократим степени переменных: \( \frac{a^3}{a^3} = 1 \), \( \frac{c^3}{c^3} = 1 \).
   Остаётся: \( \frac{b}{b \cdot b^7} = \frac{b}{b^8} = \frac{1}{b^7} \).
3. Итоговый результат:
   Объединяя сокращенные части, получаем: \( \frac{2}{25b^7} \)

Ответ: \( \frac{2}{25b^7} \).