Упростите: \(\frac{5x+9}{x^2-1} - \frac{4x+8}{x^2-1}\)

Решение:

Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно вычесть их числители, а знаменатель оставить прежним.

\( \frac{5x+9}{x^2-1} - \frac{4x+8}{x^2-1} = \frac{(5x+9) - (4x+8)}{x^2-1} \)

Раскроем скобки в числителе:

\( \frac{5x+9 - 4x - 8}{x^2-1} \)

Приведем подобные слагаемые в числителе:

\( \frac{(5x - 4x) + (9 - 8)}{x^2-1} = \frac{x+1}{x^2-1} \)

Знаменатель \( x^2 - 1 \) является разностью квадратов и может быть разложен на множители: \( x^2 - 1 = (x-1)(x+1) \).

Подставим это разложение в дробь:

\( \frac{x+1}{(x-1)(x+1)} \)

Сократим дробь на \( (x+1) \), учитывая, что \( x \neq -1 \):

\( \frac{1}{x-1} \)

Ответ: \( \frac{1}{x-1} \).