569. Упростите и найдите значение выражения: а) \(\frac{5}{7}a + \frac{3}{14}a\) при \(a = 4\frac{2}{3}; \frac{7}{13}\); б) \(\frac{3}{8}y + y - \frac{1}{4}y\) при \(y = 2\frac{2}{3}; \frac{4}{9}\); в) \(\frac{13}{15}m - \frac{3}{4}m + \frac{1}{12}m\) при \(m = 2\frac{1}{2}; 6\frac{1}{4}\); г) \(\frac{1}{3}x + \frac{3}{4}x - \frac{4}{9}x\) при \(x = 1\frac{13}{23}; \frac{9}{46}\).

Решение:

a) Упростим выражение \(\frac{5}{7}a + \frac{3}{14}a\):

Приведем дроби к общему знаменателю: \(\frac{5}{7}a + \frac{3}{14}a = \frac{5 \cdot 2}{7 \cdot 2}a + \frac{3}{14}a = \frac{10}{14}a + \frac{3}{14}a = \frac{10+3}{14}a = \frac{13}{14}a\)

Теперь найдем значение выражения при \(a = 4\frac{2}{3}\):

\(\frac{13}{14} \cdot 4\frac{2}{3} = \frac{13}{14} \cdot \frac{4 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{13}{14} \cdot \frac{12+2}{3} = \frac{13}{14} \cdot \frac{14}{3} = \frac{13 \cdot 14}{14 \cdot 3} = \frac{13}{3} = 4\frac{1}{3}\)

Теперь найдем значение выражения при \(a = \frac{7}{13}\):

\(\frac{13}{14} \cdot \frac{7}{13} = \frac{13 \cdot 7}{14 \cdot 13} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}\)

б) Упростим выражение \(\frac{3}{8}y + y - \frac{1}{4}y\):

Приведем дроби к общему знаменателю: \(\frac{3}{8}y + y - \frac{1}{4}y = \frac{3}{8}y + \frac{8}{8}y - \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2}y = \frac{3}{8}y + \frac{8}{8}y - \frac{2}{8}y = \frac{3+8-2}{8}y = \frac{9}{8}y\)

Теперь найдем значение выражения при \(y = 2\frac{2}{3}\):

\(\frac{9}{8} \cdot 2\frac{2}{3} = \frac{9}{8} \cdot \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{9}{8} \cdot \frac{6+2}{3} = \frac{9}{8} \cdot \frac{8}{3} = \frac{9 \cdot 8}{8 \cdot 3} = \frac{9}{3} = 3\)

Теперь найдем значение выражения при \(y = \frac{4}{9}\):

\(\frac{9}{8} \cdot \frac{4}{9} = \frac{9 \cdot 4}{8 \cdot 9} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\)

в) Упростим выражение \(\frac{13}{15}m - \frac{3}{4}m + \frac{1}{12}m\):

Приведем дроби к общему знаменателю (60): \(\frac{13 \cdot 4}{15 \cdot 4}m - \frac{3 \cdot 15}{4 \cdot 15}m + \frac{1 \cdot 5}{12 \cdot 5}m = \frac{52}{60}m - \frac{45}{60}m + \frac{5}{60}m = \frac{52-45+5}{60}m = \frac{12}{60}m = \frac{1}{5}m\)

Теперь найдем значение выражения при \(m = 2\frac{1}{2}\):

\(\frac{1}{5} \cdot 2\frac{1}{2} = \frac{1}{5} \cdot \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{2} = \frac{1 \cdot 5}{5 \cdot 2} = \frac{1}{2}\)

Теперь найдем значение выражения при \(m = 6\frac{1}{4}\):

\(\frac{1}{5} \cdot 6\frac{1}{4} = \frac{1}{5} \cdot \frac{6 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{1}{5} \cdot \frac{25}{4} = \frac{1 \cdot 25}{5 \cdot 4} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}\)

г) Упростим выражение \(\frac{1}{3}x + \frac{3}{4}x - \frac{4}{9}x\):

Приведем дроби к общему знаменателю (36): \(\frac{1 \cdot 12}{3 \cdot 12}x + \frac{3 \cdot 9}{4 \cdot 9}x - \frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 4}x = \frac{12}{36}x + \frac{27}{36}x - \frac{16}{36}x = \frac{12+27-16}{36}x = \frac{23}{36}x\)

Теперь найдем значение выражения при \(x = 1\frac{13}{23}\):

\(\frac{23}{36} \cdot 1\frac{13}{23} = \frac{23}{36} \cdot \frac{1 \cdot 23 + 13}{23} = \frac{23}{36} \cdot \frac{23+13}{23} = \frac{23}{36} \cdot \frac{36}{23} = \frac{23 \cdot 36}{36 \cdot 23} = 1\)

Теперь найдем значение выражения при \(x = \frac{9}{46}\):

\(\frac{23}{36} \cdot \frac{9}{46} = \frac{23 \cdot 9}{36 \cdot 46} = \frac{23 \cdot 9}{4 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 23} = \frac{1}{4 \cdot 2} = \frac{1}{8}\)

Ответ: a) \(4\frac{1}{3}\); \(\frac{1}{2}\); б) 3; \(\frac{1}{2}\); в) \(\frac{1}{2}\); \(1\frac{1}{4}\); г) 1; \(\frac{1}{8}\)