Упростите рациональное выражение: $$\frac{25m^2-9}{16m^2-8m+1} : \frac{5m-3}{4m-1} - \frac{2m-3}{4m+1}$$

Решение:

1. Разложим числитель первой дроби на множители как разность квадратов: \( 25m^2 - 9 = (5m-3)(5m+3) \).
2. Знаменатель первой дроби представим как квадрат разности: \( 16m^2 - 8m + 1 = (4m-1)^2 \).
3. Деление на дробь заменим умножением на обратную дробь: \[ \frac{(5m-3)(5m+3)}{(4m-1)^2} \cdot \frac{4m-1}{5m-3} \]
4. Сократим одинаковые множители \( (5m-3) \) и \( (4m-1) \): \[ \frac{5m+3}{4m-1} \]
5. Теперь вычтем вторую дробь: \[ \frac{5m+3}{4m-1} - \frac{2m-3}{4m+1} \]
6. Приведём дроби к общему знаменателю \( (4m-1)(4m+1) \): \[ \frac{(5m+3)(4m+1) - (2m-3)(4m-1)}{(4m-1)(4m+1)} \]
7. Раскроем скобки в числителе: \( (20m^2 + 5m + 12m + 3) - (8m^2 - 2m - 12m + 3) \)
8. Упростим числитель: \( 20m^2 + 17m + 3 - (8m^2 - 14m + 3) \)
9. \( 20m^2 + 17m + 3 - 8m^2 + 14m - 3 \)
10. \( 12m^2 + 31m \)
11. Знаменатель \( (4m-1)(4m+1) = 16m^2 - 1 \).
12. Итоговое выражение: \[ \frac{12m^2 + 31m}{16m^2 - 1} \]

Ответ: $$\frac{12m^2 + 31m}{16m^2 - 1}$$