Упростите выражение: $$\frac{4c}{c+2} - \frac{c-8}{3c+6} \cdot \frac{84}{c^2-8c}$$

Для упрощения данного выражения, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Разложить знаменатели на множители, чтобы найти общий знаменатель.
2. Выполнить умножение дробей.
3. Привести подобные слагаемые.

Начнем с разложения знаменателей:

• $$c+2$$ - уже в простейшей форме.
• $$3c+6 = 3(c+2)$$.
• $$c^2-8c = c(c-8)$$.

Перепишем исходное выражение с разложенными знаменателями:

$$\frac{4c}{c+2} - \frac{c-8}{3(c+2)} \cdot \frac{84}{c(c-8)}$$

Теперь выполним умножение второй дроби:

$$\frac{4c}{c+2} - \frac{84(c-8)}{3c(c+2)(c-8)}$$

Сократим $$\frac{c-8}{c-8}$$:

$$\frac{4c}{c+2} - \frac{84}{3c(c+2)}$$

Сократим 84 и 3:

$$\frac{4c}{c+2} - \frac{28}{c(c+2)}$$

Теперь приведем дроби к общему знаменателю, который равен $$c(c+2)$$:

$$\frac{4c^2}{c(c+2)} - \frac{28}{c(c+2)}$$

Объединим дроби:

$$\frac{4c^2 - 28}{c(c+2)}$$

Вынесем 4 за скобки в числителе:

$$\frac{4(c^2 - 7)}{c(c+2)}$$

Упростить далее не представляется возможным.

Ответ: $$\frac{4(c^2 - 7)}{c(c+2)}$$