Упростите выражение: \frac{x - 2}{4x + 8} - \frac{x + 2}{4x - 8} + \frac{4}{x^2 - 4} =

Преобразуем первое слагаемое:

$$ \frac{x-2}{4x+8} = \frac{x-2}{4(x+2)} $$

Преобразуем второе слагаемое:

$$ \frac{x+2}{4x-8} = \frac{x+2}{4(x-2)} $$

Преобразуем третье слагаемое:

$$ \frac{4}{x^2-4} = \frac{4}{(x-2)(x+2)} $$

Получаем выражение:

$$ \frac{x-2}{4(x+2)} - \frac{x+2}{4(x-2)} + \frac{4}{(x-2)(x+2)} = $$

Приведем дроби к общему знаменателю: общий знаменатель равен $$4(x-2)(x+2)$$.

Тогда:

$$ \frac{(x-2)(x-2)}{4(x+2)(x-2)} - \frac{(x+2)(x+2)}{4(x-2)(x+2)} + \frac{4\cdot 4}{4(x-2)(x+2)} = \frac{(x-2)^2 - (x+2)^2 + 16}{4(x-2)(x+2)} = $$

Раскроем скобки:

$$ \frac{x^2 - 4x + 4 - (x^2 + 4x + 4) + 16}{4(x-2)(x+2)} = \frac{x^2 - 4x + 4 - x^2 - 4x - 4 + 16}{4(x-2)(x+2)} = $$

$$ = \frac{-8x + 16}{4(x-2)(x+2)} = \frac{-8(x - 2)}{4(x-2)(x+2)} = \frac{-2}{x+2} $$

Ответ: $$ \frac{-2}{x+2} $$