Упростите выражение: 1. \(\frac{4n-m}{20mn^2} - \frac{3m+n}{15m^2n}\) 2. \(\frac{b+3}{9b-27} - \frac{b-1}{b^2-3b}\) 3. \(\frac{m^2-10mn+25n^2}{12m^3n^3} : \frac{m-5n}{6mn}\) 4. \(\frac{a+3}{1-a} \cdot (\frac{a}{a-3} + \frac{3-a}{a+3})\)

1. Упростим выражение: \(\frac{4n-m}{20mn^2} - \frac{3m+n}{15m^2n}\)

Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель: \(60m^2n^2\). Домножим первую дробь на \(3m\), вторую на \(4n\):

\(\frac{3m(4n-m)}{60m^2n^2} - \frac{4n(3m+n)}{60m^2n^2} = \frac{12mn-3m^2 - 12mn - 4n^2}{60m^2n^2} = \frac{-3m^2 - 4n^2}{60m^2n^2} = -\frac{3m^2 + 4n^2}{60m^2n^2}\)

Ответ: \(-\frac{3m^2 + 4n^2}{60m^2n^2}\)

2. Упростим выражение: \(\frac{b+3}{9b-27} - \frac{b-1}{b^2-3b}\)

• Разложим знаменатели на множители:
  \(9b-27 = 9(b-3)\)
  \(b^2-3b = b(b-3)\)
• Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель: \(9b(b-3)\). Домножим первую дробь на \(b\), вторую на \(9\):
  \(\frac{b(b+3)}{9b(b-3)} - \frac{9(b-1)}{9b(b-3)} = \frac{b^2+3b - 9b + 9}{9b(b-3)} = \frac{b^2 - 6b + 9}{9b(b-3)}\)
• В числителе выделим полный квадрат:
  \(\frac{(b-3)^2}{9b(b-3)} = \frac{b-3}{9b}\)

Ответ: \(\frac{b-3}{9b}\)

3. Упростим выражение: \(\frac{m^2-10mn+25n^2}{12m^3n^3} : \frac{m-5n}{6mn}\)

• Преобразуем числитель первой дроби, выделив полный квадрат:
  \(m^2-10mn+25n^2 = (m-5n)^2\)
• Заменим деление умножением на обратную дробь:
  \(\frac{(m-5n)^2}{12m^3n^3} \cdot \frac{6mn}{m-5n} = \frac{(m-5n)^2 \cdot 6mn}{12m^3n^3 \cdot (m-5n)} = \frac{6mn(m-5n)^2}{12m^3n^3(m-5n)}\)
• Сократим дробь на \(6mn(m-5n)\):
  \(\frac{m-5n}{2m^2n^2}\)

Ответ: \(\frac{m-5n}{2m^2n^2}\)

4. Упростим выражение: \(\frac{a+3}{1-a} \cdot (\frac{a}{a-3} + \frac{3-a}{a+3})\)

• Приведем дроби в скобках к общему знаменателю. Общий знаменатель: \((a-3)(a+3)\). Домножим первую дробь на \((a+3)\), вторую на \((a-3)\):
  \(\frac{a+3}{1-a} \cdot (\frac{a(a+3)}{(a-3)(a+3)} + \frac{(3-a)(a-3)}{(a+3)(a-3)}) = \frac{a+3}{1-a} \cdot (\frac{a^2+3a + 3a - 9 - a^2 + 3a}{(a-3)(a+3)}) = \frac{a+3}{1-a} \cdot \frac{9a-9}{(a-3)(a+3)}\)
• Вынесем \(9\) за скобки в числителе второй дроби:
  \(\frac{a+3}{1-a} \cdot \frac{9(a-1)}{(a-3)(a+3)} = \frac{9(a+3)(a-1)}{(1-a)(a-3)(a+3)}\)
• Сократим \((a+3)\) и изменим знак в \((1-a)\), чтобы сократить \((a-1)\):
  \(\frac{9(a-1)}{-(a-1)(a-3)} = -\frac{9}{a-3} = \frac{9}{3-a}\)

Ответ: \(\frac{9}{3-a}\)