Упростите выражение $$\frac{3\sqrt{18}}{\sqrt{27}} + \frac{5\sqrt{30}}{\sqrt{5}}$$.

Для упрощения данного выражения, сначала упростим каждый член отдельно, а затем сложим их: 1) Упростим первое слагаемое: $$\frac{3\sqrt{18}}{\sqrt{27}}$$ $$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$$ $$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$$ Тогда $$\frac{3\sqrt{18}}{\sqrt{27}} = \frac{3 \cdot 3\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$ Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $$\sqrt{3}$$: $$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{6}}{3} = \sqrt{6}$$ 2) Упростим второе слагаемое: $$\frac{5\sqrt{30}}{\sqrt{5}}$$ $$\frac{5\sqrt{30}}{\sqrt{5}} = 5\sqrt{\frac{30}{5}} = 5\sqrt{6}$$ 3) Теперь сложим упрощенные слагаемые: $$\sqrt{6} + 5\sqrt{6} = 6\sqrt{6}$$ Таким образом, упрощенное выражение равно $$\mathbf{6\sqrt{6}}$$. Ответ: $$6\sqrt{6}$$