163. Упростите выражение: 1) \frac{a^{2\sqrt{3}}-b^{2\sqrt{5}}}{(a^{\sqrt{3}}-b^{\sqrt{5}})^2}-1; 2) \frac{a^{\frac{2\sqrt{3}}{3}}-a^{\frac{\sqrt{3}}{3}}b^{\frac{\sqrt{5}}{3}}+b^{\frac{2\sqrt{5}}{3}}}{a^{\sqrt{3}}+b^{\sqrt{5}}}.

Решение:

1) Давай упростим выражение по шагам: \[\frac{a^{2\sqrt{3}}-b^{2\sqrt{5}}}{(a^{\sqrt{3}}-b^{\sqrt{5}})^2}-1 = \frac{(a^{\sqrt{3}})^2-(b^{\sqrt{5}})^2}{(a^{\sqrt{3}}-b^{\sqrt{5}})^2}-1\] Используем формулу разности квадратов: \[a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\] Тогда: \[\frac{(a^{\sqrt{3}}-b^{\sqrt{5}})(a^{\sqrt{3}}+b^{\sqrt{5}})}{(a^{\sqrt{3}}-b^{\sqrt{5}})^2}-1 = \frac{a^{\sqrt{3}}+b^{\sqrt{5}}}{a^{\sqrt{3}}-b^{\sqrt{5}}}-1\] Приведем к общему знаменателю: \[\frac{a^{\sqrt{3}}+b^{\sqrt{5}}-(a^{\sqrt{3}}-b^{\sqrt{5}})}{a^{\sqrt{3}}-b^{\sqrt{5}}} = \frac{a^{\sqrt{3}}+b^{\sqrt{5}}-a^{\sqrt{3}}+b^{\sqrt{5}}}{a^{\sqrt{3}}-b^{\sqrt{5}}} = \frac{2b^{\sqrt{5}}}{a^{\sqrt{3}}-b^{\sqrt{5}}}\] 2) Упростим второе выражение: \[\frac{a^{\frac{2\sqrt{3}}{3}}-a^{\frac{\sqrt{3}}{3}}b^{\frac{\sqrt{5}}{3}}+b^{\frac{2\sqrt{5}}{3}}}{a^{\sqrt{3}}+b^{\sqrt{5}}}\] Заметим, что \[(a^{\frac{\sqrt{3}}{3}})^3 = a^{\sqrt{3}}\] и \[(b^{\frac{\sqrt{5}}{3}})^3 = b^{\sqrt{5}}\] Тогда знаменатель можно представить как \[(a^{\frac{\sqrt{3}}{3}})^3 + (b^{\frac{\sqrt{5}}{3}})^3\] Вспомним формулу суммы кубов: \[a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\] Тогда: \[a^{\sqrt{3}}+b^{\sqrt{5}} = (a^{\frac{\sqrt{3}}{3}} + b^{\frac{\sqrt{5}}{3}})((a^{\frac{\sqrt{3}}{3}})^2 - a^{\frac{\sqrt{3}}{3}}b^{\frac{\sqrt{5}}{3}} + (b^{\frac{\sqrt{5}}{3}})^2)\] \[a^{\sqrt{3}}+b^{\sqrt{5}} = (a^{\frac{\sqrt{3}}{3}} + b^{\frac{\sqrt{5}}{3}})(a^{\frac{2\sqrt{3}}{3}} - a^{\frac{\sqrt{3}}{3}}b^{\frac{\sqrt{5}}{3}} + b^{\frac{2\sqrt{5}}{3}})\] Подставим в исходное выражение: \[\frac{a^{\frac{2\sqrt{3}}{3}}-a^{\frac{\sqrt{3}}{3}}b^{\frac{\sqrt{5}}{3}}+b^{\frac{2\sqrt{5}}{3}}}{(a^{\frac{\sqrt{3}}{3}} + b^{\frac{\sqrt{5}}{3}})(a^{\frac{2\sqrt{3}}{3}} - a^{\frac{\sqrt{3}}{3}}b^{\frac{\sqrt{5}}{3}} + b^{\frac{2\sqrt{5}}{3}})} = \frac{1}{a^{\frac{\sqrt{3}}{3}} + b^{\frac{\sqrt{5}}{3}}}\]

Ответ: 1) \(\frac{2b^{\sqrt{5}}}{a^{\sqrt{3}}-b^{\sqrt{5}}}\); 2) \(\frac{1}{a^{\frac{\sqrt{3}}{3}} + b^{\frac{\sqrt{5}}{3}}}\)

Отлично! Теперь ты умеешь упрощать сложные выражения. Продолжай в том же духе, и все получится!