Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Упростите выражение: (\frac{1}{4-a^2} - \frac{1}{a^2-4a+4}) \cdot \frac{a^2-4}{2a}.
Ответ:
Краткое пояснение: Чтобы упростить выражение, сначала приведем дроби в скобках к общему знаменателю, затем выполним вычитание и умножение на дробь за скобками, после чего сократим полученное выражение.
Пошаговое решение:
- Шаг 1: Приведем дроби в скобках к общему знаменателю. Для этого разложим знаменатели на множители:
\[4 - a^2 = (2 - a)(2 + a)\]\[a^2 - 4a + 4 = (a - 2)^2\]Общий знаменатель: \[(2 - a)(2 + a)(a - 2)^2\] - Шаг 2: Преобразуем первую дробь, умножив числитель и знаменатель на \[(a - 2)^2\]:
\[\frac{1}{4 - a^2} = \frac{(a - 2)^2}{(2 - a)(2 + a)(a - 2)^2} = \frac{(a - 2)^2}{-(a - 2)(a + 2)(a - 2)^2} = -\frac{(a - 2)^2}{(a - 2)(a + 2)(a - 2)^2}\] - Шаг 3: Преобразуем вторую дробь, умножив числитель и знаменатель на \[(2 - a)(2 + a)\]:
\[\frac{1}{a^2 - 4a + 4} = \frac{(2 - a)(2 + a)}{(a - 2)^2(2 - a)(2 + a)} = \frac{-(a - 2)(a + 2)}{(a - 2)^2(a - 2)(a + 2)}\] - Шаг 4: Выполним вычитание дробей:
\[-\frac{(a - 2)^2}{(a - 2)(a + 2)(a - 2)^2} - \frac{-(a - 2)(a + 2)}{(a - 2)^2(a - 2)(a + 2)} = \frac{-(a - 2)^2 + (a - 2)(a + 2)}{(a - 2)^2(a + 2)} = \frac{-(a^2 - 4a + 4) + (a^2 - 4)}{(a - 2)^2(a + 2)} = \frac{-a^2 + 4a - 4 + a^2 - 4}{(a - 2)^2(a + 2)} = \frac{4a - 8}{(a - 2)^2(a + 2)} = \frac{4(a - 2)}{(a - 2)^2(a + 2)} = \frac{4}{(a - 2)(a + 2)}\] - Шаг 5: Разложим числитель второй дроби на множители:
\[a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)\] - Шаг 6: Умножим полученную дробь на вторую дробь:
\[\frac{4}{(a - 2)(a + 2)} \cdot \frac{(a - 2)(a + 2)}{2a} = \frac{4(a - 2)(a + 2)}{2a(a - 2)(a + 2)} = \frac{4}{2a} = \frac{2}{a}\]
Ответ: \(\frac{2}{a}\)
