Упрощение выражения

Для упрощения выражения $$\frac{3a}{a-3} + \frac{a+5}{6-2a} - \frac{54}{5a+a^2}$$, выполним следующие шаги:

1. Приведение к общему знаменателю:

   Сначала преобразуем знаменатели:

   • $$6 - 2a = -2(a - 3)$$
   • $$5a + a^2 = a(a + 5)$$

   Общий знаменатель будет $$2a(a - 3)(a + 5)$$.

2. Преобразование дробей:

   • Первая дробь: $$\frac{3a}{a-3} = \frac{3a \cdot 2a(a+5)}{(a-3) \cdot 2a(a+5)} = \frac{6a^2(a+5)}{2a(a-3)(a+5)}$$
   • Вторая дробь: $$\frac{a+5}{6-2a} = \frac{a+5}{-2(a-3)} = \frac{(a+5) \cdot -a(a+5)}{-2(a-3) \cdot -a(a+5)} = \frac{-a(a+5)^2}{2a(a-3)(a+5)}$$
   • Третья дробь: $$\frac{54}{5a+a^2} = \frac{54}{a(a+5)} = \frac{54 \cdot 2(a-3)}{a(a+5) \cdot 2(a-3)} = \frac{108(a-3)}{2a(a-3)(a+5)}$$

3. Сложение и вычитание дробей:

   Теперь сложим и вычтем дроби:

   $$\frac{6a^2(a+5) - a(a+5)^2 - 108(a-3)}{2a(a-3)(a+5)}$$

4. Раскрытие скобок и упрощение числителя:

   Раскроем скобки в числителе:

   $$6a^3 + 30a^2 - a(a^2 + 10a + 25) - 108a + 324 = $$ $$6a^3 + 30a^2 - a^3 - 10a^2 - 25a - 108a + 324 = $$ $$5a^3 + 20a^2 - 133a + 324$$

5. Факторизация числителя (если возможно):

   Попробуем упростить числитель. Заметим, что при $$a = 3$$ числитель обращается в ноль:

   $$5(3)^3 + 20(3)^2 - 133(3) + 324 = 5 \cdot 27 + 20 \cdot 9 - 133 \cdot 3 + 324 = 135 + 180 - 399 + 324 = 0$$

   Значит, числитель делится на $$(a - 3)$$. Выполним деление столбиком или подбором:

   $$5a^3 + 20a^2 - 133a + 324 = (a - 3)(5a^2 + 35a - 108)$$

6. Сокращение дроби:

   Теперь сократим дробь:

   $$\frac{(a - 3)(5a^2 + 35a - 108)}{2a(a - 3)(a + 5)} = \frac{5a^2 + 35a - 108}{2a(a + 5)}$$

Ответ:

$$\frac{5a^2 + 35a - 108}{2a(a + 5)}$$ или $$\frac{5a^2 + 35a - 108}{2a^2 + 10a}$$