7. Упростите выражение: √10 + 8√2 + √9+4√2.

Решение:

Упростим выражение $$\sqrt{10 + 8\sqrt{2}} + \sqrt{9+4\sqrt{2}}$$.

Сначала упростим каждое слагаемое отдельно.

1) $$\sqrt{10 + 8\sqrt{2}} = \sqrt{2 + 8 + 8\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 4 + 4^2} = \sqrt{(\sqrt{2} + 4)^2} = |\sqrt{2} + 4| = \sqrt{2} + 4$$

2) $$\sqrt{9+4\sqrt{2}} = \sqrt{1 + 8 + 4\sqrt{2}} = \sqrt{1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 2\sqrt{2} + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{(1 + 2\sqrt{2})^2} = |1 + 2\sqrt{2}| = 1 + 2\sqrt{2}$$

Тогда $$\sqrt{10 + 8\sqrt{2}} + \sqrt{9+4\sqrt{2}} = \sqrt{2} + 4 + 1 + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2} + 5$$

Ответ: $$3\sqrt{2} + 5$$