Упростите выражение \(\frac{a^2 - 4b^2}{2ab} : (\frac{1}{2b} - \frac{1}{a})\) и найдите его значение при \(a = 2\frac{15}{19}, b = 5\frac{2}{19}.\)

Пошаговое решение:

1. Упростим выражение: \[\frac{a^2 - 4b^2}{2ab} : (\frac{1}{2b} - \frac{1}{a})\] Преобразуем выражение в скобках: \[\frac{1}{2b} - \frac{1}{a} = \frac{a - 2b}{2ab}\] Тогда выражение примет вид: \[\frac{a^2 - 4b^2}{2ab} : \frac{a - 2b}{2ab} = \frac{a^2 - 4b^2}{2ab} \cdot \frac{2ab}{a - 2b}\] Разложим числитель первой дроби как разность квадратов: \[a^2 - 4b^2 = (a - 2b)(a + 2b)\] Тогда выражение будет: \[\frac{(a - 2b)(a + 2b)}{2ab} \cdot \frac{2ab}{a - 2b}\] Сокращаем \(2ab\) и \((a - 2b)\): \[a + 2b\]
2. Подставим значения \(a\) и \(b\): \(a = 2\frac{15}{19} = \frac{2 \cdot 19 + 15}{19} = \frac{38 + 15}{19} = \frac{53}{19}\) \(b = 5\frac{2}{19} = \frac{5 \cdot 19 + 2}{19} = \frac{95 + 2}{19} = \frac{97}{19}\) Подставим в упрощенное выражение: \[\frac{53}{19} + 2 \cdot \frac{97}{19} = \frac{53}{19} + \frac{194}{19} = \frac{53 + 194}{19} = \frac{247}{19}\]
3. Преобразуем в смешанную дробь: \[\frac{247}{19} = 13\]

Ответ: 13