Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика1. Упростите выражение \(\frac{y}{x^2 - y^2} : (\frac{y}{x-y} + \frac{x}{x+y})\) и найдите его значение при \(x = \frac{1}{2}\) и \(y = -1\). 2. Найдите корни уравнения (2-3). \(x^4 - 25x^2 = 0\). 3. \(\frac{x^2 + 5x - 6}{x+1} = 0\). 4. Найдите область определения выражения \(\frac{2x}{(x+2)(2x-1)}\). 5. Прочитайте задачу: «Старшая сестра читает вдвое быстрее младшей. Рассказ из 320 слов она прочитала на 4 мин быстрее сестры. С какой скоростью читает каждая из сестер?» Выберите уравнение, соответствующее условию задачи, если буквой х обозначено количество слов, которое читает за 1 мин младшая сестра. А. \(\frac{320}{x} - \frac{320}{2x} = 4\). Б. \(\frac{320}{2x} - \frac{320}{x} = 4\). В. \(320 \cdot 2x - 320x = 4\). Г. \(\frac{320}{0,5x} - \frac{320}{x} = 4\).
Ответ:
Задание 1
Сначала упростим выражение:
\[\frac{y}{x^2 - y^2} : (\frac{y}{x-y} + \frac{x}{x+y})\]Приведем к общему знаменателю выражение в скобках:
\[\frac{y}{x-y} + \frac{x}{x+y} = \frac{y(x+y) + x(x-y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{xy + y^2 + x^2 - xy}{x^2 - y^2} = \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2}\]Теперь разделим:
\[\frac{y}{x^2 - y^2} : \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} = \frac{y}{x^2 - y^2} \cdot \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} = \frac{y}{x^2 + y^2}\]Подставим значения \(x = \frac{1}{2}\) и \(y = -1\):
\[\frac{-1}{(\frac{1}{2})^2 + (-1)^2} = \frac{-1}{\frac{1}{4} + 1} = \frac{-1}{\frac{5}{4}} = -\frac{4}{5}\]Ответ: \(-\frac{4}{5}\)
Задание 2
Найдем корни уравнения:
\[x^4 - 25x^2 = 0\]Вынесем \(x^2\) за скобки:
\[x^2(x^2 - 25) = 0\]Тогда либо \(x^2 = 0\), либо \(x^2 - 25 = 0\). Из первого уравнения получаем \(x = 0\). Из второго уравнения получаем:
\[x^2 = 25\] \[x = \pm 5\]Ответ: \(x = 0, x = 5, x = -5\)
Задание 3
Решим уравнение:
\[\frac{x^2 + 5x - 6}{x+1} = 0\]Найдем корни квадратного уравнения в числителе:
\[x^2 + 5x - 6 = 0\]По теореме Виета:
\[x_1 + x_2 = -5\] \[x_1 \cdot x_2 = -6\]Подходящие корни: \(x_1 = 1\), \(x_2 = -6\). Проверим, что знаменатель не равен нулю при этих значениях:
Если \(x = 1\), то \(x + 1 = 1 + 1 = 2
eq 0\)
Если \(x = -6\), то \(x + 1 = -6 + 1 = -5
eq 0\)
Ответ: \(x = 1, x = -6\)
Задание 4
Найдем область определения выражения:
\[\frac{2x}{(x+2)(2x-1)}\]Знаменатель не должен быть равен нулю:
\[(x+2)(2x-1)eq 0\]
Тогда либо \(x + 2
eq 0\), либо \(2x - 1
eq 0\). Из первого неравенства получаем \(x
eq -2\). Из второго неравенства получаем:
eq 1\] \[x
eq \frac{1}{2}\]
Ответ: \(x
eq -2\), \(x
eq \frac{1}{2}\)
Задание 5
Пусть \(x\) - количество слов, которое читает младшая сестра за 1 минуту. Тогда старшая сестра читает \(2x\) слов в минуту. Время, за которое младшая сестра прочитает 320 слов:
\[\frac{320}{x}\]Время, за которое старшая сестра прочитает 320 слов:
\[\frac{320}{2x}\]Так как старшая сестра прочитала рассказ на 4 минуты быстрее, то:
\[\frac{320}{x} - \frac{320}{2x} = 4\]Ответ: A. \(\frac{320}{x} - \frac{320}{2x} = 4\)
